Towards the limit edge

Invariant polynomials and geometric transformations

2012-01-20T14:58:00.000-08:00

A couple days ago, I stumbled over a really interesting problem looking for something to post for #ProblemOfToday. It was a problem that appeared in the 1989 Putman exam and reads as follows

"Prove that if

$11z^{10}+10 i z^9 + 10 i z -11 =0$

then $|z|=1$."

It is a really nice problem in itself, but after thinking a bit on it, I thought what was so special about this specific coefficients to have this nice property. First, the polynomial can be analyzed in an even nicer way. By doing the transformation $z\mapsto i z$ we can see that the polynomial gets mapped (up to a negative sign) to:

$11z^{10}+10z^9+10z+11$

In this form one can see better how is the dependence of the polynomial on one of the coefficients (say 10), and can quickly ask a generalization of this particular problem:

$(n+1)z^n+nz^{n-1}+n z+ (n+1)=0$

then $|z|=1$ for $n\in\mathbb{Z}/\{0\}$.

Doing a couple of special cases, one can get convinced that actually the previous statement holds true.

$n=-4$

$n=10$

In the general case maybe the answer relies in a geometric argument. The polynomials $p_n(z)=(n+1)z^n+nz^{n-1}+n z+ (n+1)$ have the peculiarity that their roots are invariant under the inversion of the complex plane, i.e. by doing the transformation $z \mapsto \frac{1}{z}$, we have that

$p_n(z)=z^np_n\left(\frac{1}{z}\right)$

that is, roots are mapped into roots by the inversion.

Therefore, if there is a root bigger than 1, there should be a root smaller than 1 and vice-versa. It is not difficult to see that here cannot be a root bigger than 1, as $(n+1)z^n+nz^{n-1}$ and $n z+ (n+1)$ would have to be equal in modulus, but their orders of magnitude are different.

Another way of proving this is by analyzing $p_n\left( e^{i \theta}\right)$. After a little simplification we have that $p_n\left( e^{i \theta}\right)=2e^{\frac{i \theta n}{2}}\left( n\cos\left( \frac{(n-2)\theta}{2}\right)+(n+1)\cos\left( \frac{n\theta}{2}\right)\right)$, which can be found to have exactly $n$ real roots for $\theta$. Hence all roots of $p_n$ lie on the unit circle.

The interesting fact is that for $n\to\pm\infty$, the roots of $p_n(z)$ become dense on $S^1$

For example, the graph of the absolute value of $p_21(z)$ is given by

where the $S^1$ can be seen. Likewise, for negative values of $n$ we can recover $S^1$

It looks like the $p_n(z)$ can be thought as some orthogonal polynomials whose support is $S^1$, and for the same reason, it is also natural to think that they can be eigenfunctions (up to a renormalization) of some operator (hopefully differential!).

Viernes 13

2012-01-16T09:53:00.000-08:00

Como si no fuera poco con toda la propaganda sobre el fin del mundo, este 2012 comienza con otro indicio de mala suerte, hoy es viernes 13.

Tradicionalmente el viernes 13 ha sido catalogado como un día de mala suerte en muchas culturas del mundo, aunque posee una mayor influencia en la cultura anglosajona. En latinoamérica también es acostumbrado atribuirle malos augurios al martes 13, aunque ultimamente ha perdido seguidores quizás por la gran influencia cultural que el sistema anglo tiene sobre el resto del continente. También es curioso que en ambos casos la fecha es un número primo, aunque quizás tenga más relación con el hecho de que 13=12+1 (algo parecido pasa con el 6 y el 7).

Recuerdo que hace unos años atrás, en una clase de entrenamientos de olimpiadas surgió el tema del viernes 13. Estabamos recibiendo clase de probabilidades y nuestro profesor nos hizo el comentario acerca de que tan probable era en realidad que hubiera un viernes 13.

Si vemos tan solo la probabilidad de que el dia 13 de un mes sea viernes, estaríamos tentados a decir que dicha probabilidad es $1/7$, puesto que hay 7 posibles días de la semana (lunes, martes, etc.). Sin embargo el día de la semana y la fecha no son eventos completamente independientes, por lo tanto nuestro $1/7$ no es del todo correcto.

Para poder calcular la probabilidad correcta, es necesario contar cuantas veces un viernes 13 puede ocurrir. Para esto notamos que un mes tendrá un viernes 13 si dicho mes comienza en domingo. Este año 2012 habrán 3 viernes 13, en enero, en abril y en julio. Ahora, para poder calcular la probabilidad de un viernes 13 hay que tener claro lo que significa calcular la probabilidad. La forma más elemental de hacer esto es dividir el número de casos buscados sobre el número de casos totales, y para esto necesitamos saber que se entiende por casos totales en este contexto. Si el universo sobre el cual calculamos nuestra probabilidad es el número de viernes que hay en un año, tendríamos que nuestra probabilidad es $3/52$, ya que este año habrán 52 días viernes en total. Si por otro lado nuestro universo es el número de días 13, la probabilidad sería $3/12$, así que la pregunta central es ¿qué significa la probabilidad de un viernes 13? ¿Queremos calcular la probabilidad que un viernes sea 13? o ¿la probabilidad que un día 13 sea viernes? o ¿la probabilidad que un día sea viernes y sea 13? Creo que la ultima pregunta es la que describe mejor lo que andamos buscando, por lo tanto para el año 2012 tendríamos que la probabilidad es $3/366$.

El caso de 2012 es un caso especial, dado que es un año bisiesto, pero en general para calcular la probabilidad de que haya un viernes 13, es necesario analizar más detenidamente el calendario gregoriano. Al principio parecería suficiente ver dos casos, cuando el año es bisiesto y cuando no, sin embargo el calendario gregoriano es un poco más elaborado y un análisis un tanto más riguroso es necesario.

Nuestro calendario tiene un período de 400 años, es decir, cada 400 años se repite exactamente el calendario, por ejemplo el 2412 comenzará en un domingo y habrán exactamente 3 viernes 13. Por lo tanto, contando el número de viernes 13 en un período de 400 años y dividiendo esto dentro del número total de días dará la probabilidad exacta de que haya un viernes 13.

Calculando este número (ya sea viendo un calendario, escribiendo un programa en excel o buscando en internet) da un total de 688 veces, así que dicha probabilidad es

$\frac{668}{149067}\sim 0.004481206437373798359127103919714$

Lo cuál es una probabilidad muy pequeña, sin embargo no es tan pequeña como para ser considerada de mala suerte. De hecho la mayoría de días 13 son viernes, por ejemplo, este año habrán 1 domingo, 2 lunes,

2 martes, 1 miércoles, 2 jueves, 3 viernes y 1 sábado que caerán días 13. Haciendo la misma cuenta sobre un período de 400 años es posible ver la distribución de días 13 en la semana. Tenemos que hay un total de 687 domingos, 685 lunes, 685, martes, 687 miércoles, 684 jueves, 688 viernes y 684 sábados que caen día 13, así que los viernes 13 son de hecho los días que más abundan, siendo los jueves 13 los menos frecuentes.

Sum of digits

2011-11-14T23:44:00.001-08:00

Almost a month ago I participated in the Ibero-American College Olympiad thats was held in Quito as team leader of the Guatemalan team. It had been almost 4 years now since I last participated in any olympiad-related event and sure enough, I was out of shape. It is well known that mathematics is like any other activity, it requires constant practice and training, even more to make it in a competing level.

I had a really good time remembering my Olympic times, but it also reminded my how out of shape I was. I must be that the type of mathematics used to do research is a bit different as the kind of skills that are used in competitions, as their goals are a bit different. None the less, this feeling made me start a personal goal: do at least one olympiad-type problem each day. With that in mind, I start this blog, were I post a problem everyday (first in my twitter and then I post the solution of the problem in the blog). Last week, when looking at one of the problems of the day, I noticed a very interesting pattern in the sum of the digits of the powers of 16.

I found the curious relation that the sum of the digits of $16^n$ is $6n+1$. This was something that I had never noticed before and I found it quite charming. After a bit, I started wondering if this sort of property was satisfied with some other powers, but found nothing like the powers of 16. It intrigued me then what was so special about 16 that made it have this beautiful property.

Talking about this with my friend Esteban, I decided to seek for an easy proof of this fact that could unravel the mystery behind the 16, as no direct explanation seemed to appear.. What would the equivalent power be in a different base $b$ rather than 10?

Surprisingly enough, the core of this pretty property is hidden in the number 9. If you have a number $m$ which does not end in 1, $m$ and $m+9$ will have the same sum of digits. And what is the relation with 9 and 16? Well, $16^n$ always ends with 6, and when you multiply it by 16 we have that

$16^{n+1}=16^n\cdot 10+16^n\cdot 6$.

The first summand will have the same sum as $16^n$. Now the magic happens with the second summand. As it ends with 6, when performing the multiplications as we all learned in elementary school, the first operator that we make is $6\times 6=36=3\times 10+6$, thus the 30 adds up with the tenths of the first summand and voilà, there appears the 9. Then to compute the new number $(16^{n+1})$, we only have to keep performing this algorithm as in elementary school, and we end up having that the new number is going to have the same sum of digits as the one before, except by the digit of the units, which is 6. Therefore by induction we have that the sum is to have the desired form.

By looking at this, we can easily find other numbers that work, for example the powers of $10^k+6$ will do the job. Here we can notice then that the special duty is made by the number 6, as $6^2=36$ whose sum of digits equals 9 and ends also in 6. So hence, when looking at different bases other than 10, we can find something similar happening. We need to have then a base $b$ and a digit $d$ such that:

$d^2$ ends in $d$
the sum of the digits of $d^2$ is equal to $b-1$.

In other words, we need to find pairs $(b,d)$ such that

$d^2=(b-1-d)b+d$

i.e.

$d^2+d(b-1)-b(b-1)=0$

which will have integer solutions iff

$(b-1)^2+4b(b-1)=5b^2-6b+1=(5b-1)(b-1)$

is a perfect square. This is a diophantine equation of order two, which have integer solutions. For instance another solutions are $(65,40), (442, 273), (3026, 1870)$. One way of analyzing this equation can be by the method I described earlier.

Thus, similar properties are satisfied by $65^k+40$, $442^k+273$ and $3026^k+1870$ in base $65, 442$ and $3026$ respectively and $k>0$. It is a neat property and special also because it happens to be the case that we use a base that satisfy this diophantine equation.

Reordenando Cifras

2011-08-07T17:58:00.000-07:00

Hace unos días me reencontré con unos viejos amigos de matemática que no veía hacía un par de años, y regresando en el tráfico pensaba sobre un pequeño comentario que hicimos con Jóse Carlos al intercambiar números telefónicos.

Unos años atrás, Jóse Carlos poseía algo que todo matemático codicia: un número telefónico que es primo. Sin embargo ahora años después cuenta con otro número. Al darle mi número, le recordé que es primo, y al particionarlo en orden ascendente en pares y tríos, los números resultantes también son primos. Para mencionarme una propiedad interesante de su número, él me dijo que al realizar una permutación de este y ordenarlo a pares se obtenían que los cuatro números obtenidos eran múltiplos dos a dos.

Pensando en propiedades de números que surgían al ser reordenados, una pregunta natural es

¿de cuántas maneras se pueden reordenar las cifras de un número para obtener números distintos?

Para un número en particular, esta pregunta es fácil de calcular, por ejemplo si vemos el número 122 podemos ver que solamente se pueden reordenar sus cifras de 3 formas diferentes

122

212

221

o para el número 524, se tienen 6 formas diferentes

245

254

425

452

524

542

Sin embargo, si llamamos

$\nu(n)=$número de números distintos obtenidos al permutar las cifras de $n$

una expresión general de $\nu(n)$ resulta muy complicada de escribir, si no es que imposible, puesto que la aparición de dígitos en la expansión decimal de $n$ no es algo fácil de controlar.

Por ejemplo se tiene que la función no es monótona y alcanza valores bajos infinitamente, e.g. $\nu(11\dots 1)=1$ para cualquier cantidad de 1´s.

Como es cosa usual con funciones número-teoréticas, un segundo paso después de buscar expresiones exactas, es buscar comportamientos asintóticos.

Una forma de encontrar esta aproximación es por medio de hallar una expresión semi-explícita para $\nu(n)$.

Sea $n_i$ es número de dígitos $i$ que aparecen en la representación decimal de $n$ y $N$ el número de dígitos de $n$. Entonces

$\nu(n)=\binom{N}{n_0}\binom{N-n_0}{n_1}\binom{N-n_0-n_1}{n_2}\dots \binom{N-n_0-n_1-\dots -n_8}{n_9}$

$=\binom{N}{n_0\, n_1\, n_2\, \dots\, n_9}$

donde el término anterior es el coeficiente multinomial del número de dígitos.

Para calcular una expresión asintótica, podemos decir que para valores grandes de $n$ genéricamente se tiene que $n$ posee sus dígitos uniformemente distribuidos, por lo tanto

$N\sim \log n$

$n_i\sim \frac{N}{10}=\frac{\log n}{10}$

por lo tanto tenemos que $\nu(n)$ se comporta como

$\nu(n)\sim \binom{\lfloor\log n\rfloor}{\left\lfloor\frac{\log n}{10}\right\rfloor\, \left\lfloor\frac{\log n}{10}\right\rfloor\,\dots \, \left\lfloor\frac{\log n}{10}\right\rfloor}$

$=\frac{\lfloor\log n\rfloor!}{\left[\left\lfloor\frac{\log n}{10}\right\rfloor!\right]^{10}}$

Aca está la gráfica de la asíntota para $n\leq 100000$

y como se puede ver, asíntoticamente la función crece muy rápido, por lo que para valores grandes de $n$, es posible reordenar sus cifras y encontrar números con propiedades interesantes relacionadas con $n$ dada la gran cantidad de opciones disponibles.

Hearing the string, not the shape

2011-07-27T21:50:00.000-07:00

Last week I went to a very interesting summer school about algebraic and topological methods in quantum mechanics. It was a very eclectic crowd between mathematicians and physicists and undergrads, grads, postdocs and professors.

There were lectures, talks and something really interesting called short communications. The idea of these was to encourage participants to present some interesting facts that came from the main lectures. In one of these communications, a group presented the famous topic about hearing the shape of a drum, and their presentation made me think about the mathematical formulation of what does it mean to hear a a sound, and moreover why do we hear certain type of sound and not another.

Suppose we are listening to a string sound, like a guitar. The most basic model of this is the wave equation

$\partial_{tt}\psi=\Delta \psi$

subject to the initial conditions $\psi(0,x)=f(x)$ and $\partial_t \psi(0,x)=g(x)$.

Solving this equation models the behavior of the vibrating string. This PDE can be solved using separation of variables and fourier analysis for the initial conditions, and by these means, the associated wave frequency, can be thought as the separation constant, i.e. when supposing a solution of the form $\psi(t,x)=T(t)X(x)$, the above equation takes the form

$\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$

Since the RHS is a function of $t$ and the LHS is a function of $x$, the only possible case is that they are equal to a constant (the separation constant) $\lambda$. When applying the initial conditions, the equation in $x$ is easier to solve,as it takes the form of an eigenvalue problem

$X''(x)=\lambda X(x)$

with $X(0)=0$. Notice that this equation does not have a time dependence anymore, and the $\lambda$ parameter is what at the end determines the frequency (frequencies) at which the string resonates. Moreover, the initial position $f(x)$ and initial velocity $g(x)$ do not play a role with the solution of this part of the wave equation, and hence, do not affect with the value of the frequencies $\lambda$. This is the main reason why it really doesn't matter how hard or where to pinch a guitar string, it will always sound the same, maybe a little louder or softer, but the same type of sound. An E string will always sound E, no matter where or how you pinch it.

This means that the sound is an intrinsic characteristic of a material, is not really dependent on the force applied to it but to its shape and physical characteristics.

Desigualdades y bolas de colores

2011-06-23T20:09:00.000-07:00

Hace unos dias atras, mi profesor de entrenamientos para olimpiadas, Dorval Carias, publico un estatus en Facebook que me hizo sonreir de inmediato y me regreso a mis epocas de entrenos:

$(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) \geq 64 \quad \text{donde } x+y+z=1$

es una expresion bonita con la que se puede jugar un poco si no se tienen herramientas fuertes para demostrarla, y eventualmente es posible obtener una solucion elemental. Usando tecnicas un poco mas sofisticadas, es posible mostrarla utilizando la desigualdad de Jensen (posiblemente la forma mas elegante de mostralo), o bien, sumas simetricas y dominacion de una expresion sobre la otra. Incluso es posible utilizar algun argumento tipo AM-GM (como es usual en desigualdades) o tambien tecnicas como suavizamiento, entre otras. Sin embargo todas estas tecnicas prueban la desigualdad, mas no dan una explicacion del porque tiene esta forma, como diria Erdös, una bonita prueba deberia dar una manera de entender el problema, no solamente dar una demostracion.

A primera vista, el 64 con el cual se compara la expresion es un tanto misterioso, sin embargo luego de analizar por un poco de tiempo la desigualdad se puede observar que $64=4^3$ (algo impresionante la verdad) y es posible in un poco mas alla y notar que $64=(3+1)^3$, lo cual suena un poco mas razonable.

Luego de esta primera aproximacion al problema, es habitual tratar de simplificarlo un poco mas para entender lo que pasa. Resulta ser que el problema equivalente con dos variables es

$(1+1/x)(1+1/y)\geq 9$

con $x+y=1$, el cual no da muchas mas pistas que el problema original en tratar de buscar una razon para la desigualdad.

Si hacer el problema mas facil no funciona ¿porque no hacerlo mas dificil?

La forma general del problema seria

$\prod_{i=1}^n (1+1/x_i)\geq (n+1)^n$

con

$\sum_{i=1}^n x_i=1$

Algunas veces un cambio de notacion simplifica mucho un problema, y si no lo hace, al menos da un poco mas de intuicion sobre como atacarlo. Este puede ser uno de dichos casos. Usemos variables $p_i$ en lugar de $x_i$, entonces al mirar la condicion

$\sum_{i=1}^n p_i=1$

¿que es lo primero que viene a la mente? ¡Probabilidades!

Tal vez alguna interpretacion probabilistica o combinatorica pudiera resultar interesante.

Supongamos que tenemos $n$ cajas con bolas de $n$ colores distintos. Sea $p_i$ la probabilidad de sacar una bola de la caja $i$ luego de vaciar todas las cajas en un contenedor comun.

Teniendo las bolas en las $n$ cajas separadas, enumeremos las bolas en cada caja por separado. Consideremos ademas, una bola extra sin color y averiguemos el numero de formas de elegir $n$ bolas de la siguiente manera:

podemos elegir la $i$-esima bola de la $i$-esima caja o bien, elegir la bola comodín

Un pequeño problema con esta interpretacion es que no tenemos el numero total de bolas, sin embargo la probabilidad $p_i$ puede dar un indicio de esto.

Si la probabilidad de elejir una bola de la caja $i$ es $p_i$, eso significa que aproximadamente 1 de cada $\lfloor 1/p_i \rfloor$ bolas en total son de color $i$. Por lo tanto, para una bola de color $i$ en total existen solo $\lfloor 1/p_i \rfloor$ en total, por lo que podemos suponer que en la caja $i$ hay $\lfloor 1/p_i \rfloor$ bolas. (Notese que al hacer esto, las bolas se vuelven pesadas y no hay una probabilidad uniforme, sin embargo esto no es ningun problema)

Por lo tanto, el numero de formas de elegir las $n$ bolas de la manera descrita anteriormente

$\prod_{i=1}^n (1+\lfloor 1/p_i\rfloor)$

Ahora, definamos una segunda manera de elegir bolas

elegir $n$ bolas de cualquiera de las $n$ cajas o la bola comodín, sin importar la numeración

claramente el numero de formas de hacer esto es

$(n+1)^n$

Por ultimo, al notar que la primera manera de elegir bolas incluye orden y la segunda no, se puede decir que la desigualad se cumple.

Puede ser que esta explicación no sea elegante ni corta ni ingeniosa, sin embargo ayuda a entender un poco mas la naturaleza de la desigualdad, su forma y su relevancia.

Hackers of Nature

2011-06-20T13:02:00.000-07:00

Almost two years ago, my friend Antonio Juarez invited me to join him in his adventure of moving from Austin to Pittsburg. It had been so long time since I spent time with him since we were back home, and as usual, the trip was full of wierd things and crazy conversations ranging from philosophy to deeping cookies in various kinds of beverages.

About two weeks ago, I attended a conference about quantazation and I had a really nice talk with one of the participants, and part of it made me remember one of our many interesting conversations with Antonio.

As natural in a quantazation conference, discussion between mathematical and physical points of view arose everywhere, and here is when I remember what I once said to Antonio, that my appreciation of how a physicist views his job can be thought as follows:

Physicsts are like hackers. What he does is grab an already built software that does something (nature), starts playing around with the inputs and then analyzing the outputs. Then with this information, what he does is to make his own programs that emulates the original one, in other words, tries to figure out what was the original code for the original software.

Then the evolution of theories in physics is like upgrading the code, improving bugs, extending the range of the input variable, and sometimes, make it more user friendly. If God built up mathematica, physicists build sage.

No wonder lots of physicists like Linux.

And mathematicians? Probably they are like apple, they don't care about the other programmers, they only do stuff, even if no body is going to use it, but at the end, every body is got an iPhone.

Fractales: geodésicas caóticas

2011-03-13T20:21:00.000-07:00

Hace un par de días estuve en una presentación donde tuvieron como atracción principal música hecha con bobinas de tesla.

Básicamente, lo que crea la ilusión de ver un rayo, es la ruptura de la rigidez dieléctrica del aire por medio de altos voltajes generados por la bobina. La música es producto de cambiar la frecuencia de la señal generada y ponerla en el rango audible. Uno de los principios básicos de la electricidad, como en muchas otras partes de la naturaleza, es que la electricidad siempre busca el camino de menor impedancia, en otras palabras, trata de minimizar el trabajo realizado.

Ejemplos de este tipo de minimizaciones son catenarias descritas por cables en suspensión, esferas dibujadas por burbujas, orbitas elípitcas de planetas, etc. Para los que conocen de fractales, no es nuevo también saber que muchos patrones fractales en la naturaleza emergen de problemas de optimización, así por ejemplo las conchas de caracoles son resultado de maximizar espacio minimizando material de una manera creciente en el tiempo. Otras estructuras fractales que aparecen en plantas son resultado de maximizar el aprovechamiento y obtención de recursos minimizando espacio ocupado y energía utilizada.

El espectáculo creado por las bobinas de tesla involucra propagación de ondas electromagnéticas en cierto medio, sin embargo, como es bien sabido, es posible pensar en propagación de ondas electromagnéticas como el otro lado de la moneda de la óptica, es decir, las ondas electromagnéticas se propagan minimizando el camino óptico del medio.

Como resultado, dichas trayectorias constituyen geodésicas sobre el espacio-tiempo dictaminadas principalmente por las ecuaciones de Maxwell, las cuales pueden ser resueltas explicitamente. Sin ir muy lejos, dichas geodésicas son trayectorias diferenciales (generadas por el espacio tangente), sin embargo claramente una bobina de tesla muestra patrones demasiado alejados de ser diferenciales, entonces ¿qué está mal con este razonamiento y porqué se difiere tanto de un resultado y el otro?

Fundamentalmente la diferencia radica en algo que muchas veces pasamos por alto y que, como este caso, puede influir grandemente en cualquier tipo de análisis, y esto es que el aire no es un medio perfecto. Algunas veces cuando el medio es suficientemente homogéneo, es posible ver geodésicas como las esperadas, pero esto no ocurre a menudo.

Sin embargo, en general el aire resulta ser un medio muy heterogéneo, y realizar un análisis explícito de un problema como este resulta muy complicado. Es acá donde entra a jugar el caos. Visto como un sistema dinámico, este resulta ser un sistema altamente caótico, puesto que la rigidez dieléctrica es una propiedad que depende de muchos factores, como humedad, temperatura, composición del medio, etc.

Así como escribí anteriormente sobre como la geometría del medio puede influir en la formación de curvas de nivel, acá no solo la geometría, sino que las propiedades del medio determinan las geodésicas formadas.

Siendo un medio caótico, es natural obtener patrones fractales como curvas que minimicen cierta acción, en este caso, es el camino óptico de la onda electromagnética.

Al pensar un poco en el asunto, no resulta tan difícil de creer que este sea el caso, puesto que, por ejemplo, al considerar soluciones a problemas de conducción de calor y otros modelados por ecuaciones diferenciales elípticas, para pequeños tiempos es muy usual utilizar la aproximación dada por el kernel de calor $K(t,x,y)$, el cual puede interpretarse probabilísticamente como la probabilidad de que en un tiempo $t$, una partícula se desplace desde la posición $x$ hasta la posición $y$, es decir, puede verse tambien como un tipo de movimiento browniano, el cual es un tipo de fractal similar al generado por caminatas aleatorias.

Conocer la forma de las geodésicas de cierto fenómeno da mucha información sobre la geometría del ambiente, y en este caso dice mucho sobre la distribución aleatoria de propiedades eléctricas en el medio ambiente, en otras palabras, la aleatoricidad del aire.

Varieties defined by Boundaries

2011-02-24T16:02:00.000-08:00

One of the uprising methods to study the scattering properties of set of points are spectral zeta functions. Applications have been found on distribution of prime numbers, energy states of quantum mechanical systems, eigenvalues of operators and because of this, several connection results and conjectures have been made among these apparently unrelated areas.

In general, it is often useful when study the properties of the distribution of a set of points $S$, to study the behavior of a the zeta function which is associated in some know way with the set of points under analysis. Maybe the most famous example of this fact is the study of the distribution of prime numbers by means of the Riemann Zeta function.

The main connection among this different points of view often is, or at least has being conjectured to be, the starting set of points can be realized as the spectrum of differential operators acting on the $L^2$ space of functions defined in some special kind of space, for example manifolds or graphs.

When talking about differential operators, it is capital to specify boundary conditions in order to have a well defined problem, whenever the notion of boundary makes sense.

Recently, most of the study of zeta functions has been made by defining it in an implicit way, that is, without knowing explicitly the values eigenvalues of such differential operators, and this can be made by applying a result that resembles the spectral theorem in functional analysis

$$\int_\gamma \lambda^{-2s} \frac{d}{d\lambda}\log(f(\lambda)) d\lambda$$

which is basically an application of Cauchy's Residue Theorem.

The role that plays this function $f$ that appears in the residue theorem is of great importance for analyzing properties of the zeta function. This function is a meromorphic function whose zeros are located $S$, and often can be found by imposing the boundary conditions.

Using this interpretation, we can say that the set $S$ is an analytic variety defined by $f$. This analytic variety is the intersection of the varieties defined by imposing one boundary condition at a time, i.e. we have that

$\displaystyle S=\bigcap_{\beta\in B} Z (f_\beta)$

where $B$ is the set of boundaries and $f_\beta$ is a function obtained when imposing the $\beta$ boundary condition, and $Z(g)$ is the zero set for the function $g$.

Each of the boundary conditions can define an analytic variety by means of $f_\beta$, and hence, the intersection of these varieties give the spectrum of the desired differential operator. Because of this reasoning, it is natural to think that the zeta function can be decomposed as the zeta functions of the corresponding boundary conditions that define the problem.

Studying this decomposition would be of great importance for finding the general behavior of a spectral zeta function when changing boundary conditions and see what is the net affect that these play in the overall result.

Irracionalidad de armonías

2010-11-26T15:48:00.000-08:00

Hace poco estaba viendo un documental sobre el último teorema de Fermat, grabado cuando recién se había anunciado la prueba de Andrew Wiles. El documental es muy interesante y abarca una muy buena introducción histórica y matemática del teorema, así como de la teoría empleada en su demostración.

En una parte del documental, Robert Osserman hace una muy bonita conección entre la naturaleza de los números y armonías entre sonidos. Muestra un par de triángulos rectángulos, uno pitagórico y otro un triágulo isóceles, tales que cada uno de los lados era una cuerda con la misma tensión.

Al final de la demostración, resulta que el triángulo pitagórico resuena armoniosamente, mientras que el isóceles es uno de los ejemplos de sonidos menos armoniosos que pueden haber.

Me pareció muy interesante la conección existente entre armonía musical y la relación pitagórica de los números, la cual resulta muy coherente luego de analizarla.

No hay mejor manera de analizar sonidos creados por cuerdas que utilizar la ecuación de la cuerda vibrante, la cual es la ecuación de onda con condiciones Dirichlet a la frontera:

$\Delta \phi(x) =\lambda \phi(x)$

donde $\lambda$ es un armónico del sonido producido por la cuerda. Como bien es sabido, la solución general al problema de la cuerda vibrante es una superposición de todos los armónicos posibles, que puede ser escrito como serie de Fourier como

$\phi(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x)$

donde $\lambda_n=\frac{n\pi}{L}$ debido a las condiciones de frontera $\phi(0)=\phi(L)=0$, con $L$ el largo de la cuerda.

Por otra parte, desde Pitágoras con el monocordio, es sabido que al dividir una cuerda en partes iguales, se producen sonidos armoniosos, por lo que pudiéramos decir que el grado en que dos sonidos resuenan armoniósamente está relacionado con la relación que guardan sus frecuencias fundamentales. Si una frecuencia divide exactamente a la otra, el sonido es muy armonioso, tal es el caso de las octavas, en donde una frecuencia es el doble de la otra (o una potencia de 2). Luego, el grado de armonía puede medirse por medio de que tan grande sea el minimo común multiplo de ambas frecuencias, el cual puede interpretarse como que tanto hay que esperar para que los dos sonidos lleguen a producir un armónico en común.

Por esta razón, las octavas suenan muy armoniosas mientras que una nota y su sostenido no tanto. En el caso de tener dos cuerdas con logitudes cuya razón es un número racional, es posible obtener sonidos armoniosos, dependiendo del tipo de número obtenido, mientras que si la razón es un número irracional, eso quiere decir que hay que nunca es posible obtener un armónico en común, y por lo tanto el sonido obtenido es lo menos armonioso posible.

Strings of digits and prime numbers

2010-11-14T20:40:00.000-08:00

This weekend, I attended a conference about geometry and topology. Last night was the conference banquet and there I was sitting in a table at dinner time with a bunch of mathematicians. After some egg rolls and a wonton soup, and obvious topic made its appearance: prime numbers.

My friend Brian Streit was sitting next to me, and in the middle of the dinner he proposed this interesting and rather old question:

Given any string of digits, can one find a prime number ending in such a string? How about beginning in it?

My immediate reaction was to answer yes to both questions, as I recall seen them before in my early olympic training days.

That also made me remember a conjecture that was given to me few months ago by one of my friends back home, Rafa Martinez, who was claiming the following:

Given any string of digits, there exists a digit such that you can insert it in at a position in the original string such that the resulting number is prime.

This statement is in a sense much stronger than the previous one, and as strong as it seems, it turns out to be false, but thinking about it can make you discover some interesting properties about prime numbers and base representation of numbers.

When Rafa gave me this problem, he was so convinced of its validity and I was so convinced of its falsity, that I started looking for a counterexample. First, I started with a single digit prime number, then I start looking for two digit prime numbers that contained the first one. Then I looked for 3-digit prime numbers that contained the previous one and so on.

The first counterexample that I found by this method was 612113, but thinking of this led me to state the same question but in a different base, say $b$. Of course, the statement will still be false, but now, depending on $b$, the length of the counterexample would be different. For instance, if we are in base 2, a counterexample would be 1 (which is not prime), in base 3 we have for example 212, etc.

Basically, this phenomenon is due to the rate of growth of the prime numbers and how that can be related with the base in which numbers are written in.

Broadly speaking, we can make use of the prime number theorem to establish the rate of growth of prime numbers. It basically says, in simple words, that prime numbers grow in a logarithmic way, notice I'm not talking about the density of the primes, but about the size of a prime itself.

Hence, there is a high probability that if a number $p$ is prime, then "$ep$" is also a prime number, which, in some sense says that the most natural "base" to write prime numbers in is un "base $e$".

Of course $ep$ is not a prime number, as it is irrational, even more, what does "base $e$" mean anyway? The idea is to use this approach to find some appropriate bases for writing prime numbers. An appropriate base would be one such $b$ is close to a power of $e$. The first of these such powers is

$b=20\sim e^3=20.085536923187667740928529654581717896987907838554150144...$

The next one is

$b\sim e^8=2980.9579870417282747435920994528886737559679391328357022089...$

and so on.

Of course, changing base representation wont make the behavior of prime numbers different or anything like that, but maybe using this representations could lead to nice patterns on its representations.

After this little digression, I was then left with the original question of Brian, which I didn't think until today in the morning when I was discussing it about with other participant of the conference.

About the question that if you could find a prime number starting with a given string of digits (not ending in even or 5,0 of course) the simplest solution I could think was using Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. Given a string of digits $a$, we look at the sequence

$a+k10^n$

with $k$ running over the positive integers and $n$ been the length of $a$. Hence Dirichlet's theorem asserts that there are in fact, infinitely many primes in this sequence, and hence, infinitely many numbers answering positively the question posed.

For the remaining question, my proof didn't come as quickly as the previous one, and it took me the entire last talk (which sadly I didn't pay attention to) to come up with a proof, aided with my good old friend Wikipedia.

I found this interesting fact about prime gaps due to Hoheisel, that states that

$p_{n+1}-p_n \leq p_n^\theta$ for $\theta$ less than 1

where $p_n$ is the $n$th prime number.

With the help of this, proving the statement is not really hard. Proceeding by contradiction, suppose that $a$ is a given string of digits, and that there is no prime number in between $a10^m$ and $(a+1)10^m$ for all $m$, hence this would imply that the relative gap of prime numbers would be of at least

$\frac{ a 10^m- (a+1) 10^m}{a 10^m}=\frac{1}{a} $

but by Hoheisel's result, as $n\to\infty$

$ \frac{p_{n+1}-p_n}{p_n}\to 0$

which leads to a contradiction.

I particularly find really interesting this connections between prime distributions and base representations, it seems that we don't completely understand yet the interaction of these two, but definitely there is an intimate relation among them.

Ecuaciones cónicas y extensiones algebráicas

2010-09-05T22:15:00.000-07:00

Hace un par de meses discutiamos con mi amigo José Carlos sobre ecuaciones diofantinas y de posibles métodos para poder resolverlas completamente sobre los enteros.

Este tipo de ecuaciones han sido sujeto de estudio intenso a través de la historia, siendo uno de los ejemplos más famosos el del último teorema de Fermat, dado un natural $n$, determinar las soluciones enteras de la ecuación

$x^n+y^n=z^n$

Como es bien sabido, gracias a Andrew Wiles, dicha ecuación no posee soluciones enteras a menos que $n=1$ o $n=2$.

Proponiendo una meta menos ambisiosa, consideremos una ecuación diofantina de segundo grado

$ax^2+bxy+cy^2=z$

La idea era caracterizar todos los enteros $z$ que pueden ser escritos de la forma $ax^2+bxy+cy^2$, y en el mejor de los casos, dar la forma de los enteros $x$ y $y$ que cumplen con el trabajo.

Con un poco de ejemplos numericos para ciertos valores de $a,b,c$, José Carlos conjeturó que las soluciones $x,y$ de la ecuación son multiplicativas, es decir, si

$ax_1^2+bx_1y_1+cy_1^2=z_1$

$ax_2^2+bx_2y_2+cy_2^2=z_2$

con $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ primos relativos, entonces existen $x_3,y_3$ tales que

$a(x_3)^2+b(x_3)(y_3)+c(y_3)^2=(z_1z_2)$

con afán de simplificar un poco la notacion, podemos denotar la ecuación como

$p(x,y)=z$

y si reescribimos la propiedad multiplicativa como

$p(x_1,y_1)\cdot p(x_2,y_2)=p(x_3,y_3)=z_1z_2$

Esto da una noción de un cierto tipo de norma en $Z^2$. Esto no es más que una extensión de la idea de los enteros gaussianos, en donde se hacen corresponder a los pares $(x,y)$ con $x+iy$, ahora, en este caso, es necesario trabajar con otra extensión algebraica de segundo orden distinta de $\mathbb{Z}\oplus i\mathbb{Z}$.

En pocas palabras, la idea es hacer corresponderle a cada par de enteros $(x,y)$ un numero $x+\alpha y$, donde $\alpha$ es un numero algebraico sobre $\mathbb{Z}$ de grado 2, y de tal manera que $p(x,y)$ sea una norma en dicha extensión algebráica.

Para esto, consideremos el conjunto $G_\alpha=\mathbb{Z}\oplus\alpha\mathbb{Z}$, con $\alpha$ un número algebráico de segundo orden con polinomio mínimo $p(x)=x^2+ex+f$. La idea es convertir $G_\alpha$ en algo que posea una estructura muy parecida a la de los numeros complejos, digamos, un anillo junto con una operación de conjugación.

En primer lugar, la multiplicación de dos elementos se puede hallar utilizando el hecho que $\alpha^2=-b-a\alpha$, lo cual da

$(x,y)(w,z)=(xw-byz,yw+xz-ayz)$

Ahora, es necesario tener un cirto tipo de $\alpha$-conjugado, es decir, un homomorfismo involutivo en $G_\alpha$. Esta conjugación queda totalmente determinada por su valor en $\alpha$. Si tenemos que $\overline{\alpha}=k+d\alpha$, utilizando la propiedad involutiva y la de ser homomorfismo, llegamos a que la única conjugación no trivial es $k=-e$ y $d=-1$.

Ahora, podemos definir la norma en $G_\alpha$ como

$|(x,y)|^2=(x,y)\overline{(x,y)}$

lo cual, por puede escribirse como

$|(x,y)|^2=x^2-exy+fy^2$

con esto tenemos que es inmediata la observación dada por José Carlos, puesto que si $p(x,y)=x^2-exy+fy^2$, y si $p(x_1,y_1)=z_1$ y $p(x_2,y_2)=z_2$, entonces $p(x_3,y_3)=z_1z_2$, donde $x_3,y_3$ están dados por la multiplicación en $G_\alpha$

$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_3,y_3)$

Así, el problema inicial de resolver $p(x,y)=z$ se reduce a encontrar puntos con coordenadas enteras en el círculo de radio $z$ centrado en el origen en $G_\alpha$, donde $\alpha$ es una de las raices de $p(x,1)$.

Es importante observar que cualquier polinomio $ax^2+bxy+cy^2$ sustituirse por un polinomio de la forma $x^2-exy+fy^2$ sin afectar el problema inicial.

Projectivizations and orthogonal groups

2010-07-13T20:47:00.000-07:00

Few days ago, I went to a summer school in algebraic geometry in Peru, and ithere was one course in projectivization of some special types of curves and properties of them.

One of the examples was doing the projectivization of a general conic over $\mathbb{C}^n$ and finding some nice properties that the resulting curves have.

The idea of the projectivization of a curve, is to grab the domain of definition and then do its compactification, for instance, in the case of a conic in $\mathbb{C}^2$, the result is to have a conic in a sphere (Riemann sphere). Algebraically, the idea is to have a curve defined as the zero set of a polynomial, for example, $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2=0$ with $(a,b,c)\in\mathbb{C}^3$, and then to extend the domain where the parameters are defined, i.e. $[a:b:c]\in\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$.

The speaker was talking about the cases in dimension 2 and 3, where the proyective spaces are $\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$ and $\mathbb{P}(\mathbb{C}^5)$ , and she defined a nice realization of the later one as the set of $3\times 3$ complex symmetric matrices, i.e.

$p(x,y,z)=a_1x^2+a_2xy+a_3xz+a_4y^2+a_5yz+a_6z^2$

$\mapsto \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ a_2 & a_4 & a_5 \\ a_3 & a_4 & a_6 \end{pmatrix}$

This reminded me of the good old $O(3)$ with some differences. First of all, we have complex entries in our matrix, and second, the entries must satisfy and extra condition, we identify set of parameters with a common factor ($A\sim B$ iff $A=\lambda B$ for some $\lambda\in\mathbb{C}^x$), that is, the matrix defines the same curve up to a scalar multiple, which means that we need to scale it in some sense.

This two things can be fixed by considering $SO(3)$ instead of the whole $O(3)$ and then, by doing its complexification, $SO(3)\times_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$.

So, my natural conjecture was that

$\mathbb{P}(S^n_2)\sim SO(n)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$

where $S^n_2$ is the space of homogeneous polynomials with degree 2 in $n$ variables and the isomorphism is as complex manifolds.

After discussing with a couple of people, I found that there were reasons to believe that this is true, since some topological properties of both spaces matched, but so far, I haven't found yet a formal proof of this fact.

In the case of this being true, it would turn out to be a really interesting property, since the object on the right is a Lie group, being isomorphic will imply that one can define a group structure in the set of conics, which is rather an interesting fact.

El calor y la redondez de los objetos

2010-07-01T21:59:00.000-07:00

Una pregunta muy tonta aparentemente es la de ¿cómo saber si un objeto es plano o no?, sin embargo, al tratar de determinar si algo es plano o no, frecuentemente nos referimos a algún objeto patrón, el cual acordamos en decir que es plano, pero cómo saber si es plano en realidad, y más aún, ¿qué significa que algo sea plano?

Esta linea de pensamientos anterior puede resultar un poco sin sentido y muy abstracta, sin embargo al meditar sobre el asunto es posible darse cuenta del problema latente que se tiene en esta situación. Nuestra referencia de algo plano está dada principalmente por la superficie del suelo en donde vivimos, la cual, desafortunadamente, no es para nada plana.

En términos matemáticos, la pregunta es cómo saber si un objeto tiene curvatura $0$ o no. Una manera indirecta de aproximarse a la respuesta es por medio de la propagación del calor.

Por ejemplo, para determinar si una superficie es plana o no, bastaría con aplicarle una fuente de calor puntual y analizar las curvas isotérmicas, si éstas son círculos, entonces la superficie tiene curvatura constante, y en especial, si es $0$, la superficie es plana (un plano o un cilindro)

Para lograr determinar en sí si se trata de un plano o no, es posible analizar el flujo del calor a cortos tiempos. Básicamente, si el calor se propaga aproximadamente a una razón constante o menos, entonces la superficie es plana. En otras palabras, la forma más lenta en que el calor puede propagarse es en un medio plano, lo cual tiene sentido, puesto que al haber curvatura, existe más proximidad entre las partículas del material y por lo tanto el calor puede propagarse a mayor velocidad.

Esto puede obtenerse por medio de analizar la ecuación de propagación de calor, la cual en coordenadas locales puede escribirse como

$\Delta f(x,t) =\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}$

donde $\Delta$ es el laplaciano en $\mathbb{R}^2$ y $x\in M$ una variedad diferencial compacta sin frontera de dimensión 2.

Unos de los métodos más comunes para resolver esta ecuación es por medio de la utilización del kernel o núcleo de calor $K(t,x,x')\in C^\infty\left(\mathbb{R}^+\times M \times M\right)$, el cual da una solución a la ecuación diferencial con condición inicial $f(x,0)=g(x)$

$f(x,t)=\int_M K(t,x,y)g(y)dy.$

Para tiempos cortos, ie. $t\to 0$, se tiene la expansión asintótica del kernel

$K(t,x,x)\sim t^{-1}\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x)t^{k}$

en donde los coeficientes del kernel de calor dependen unicamente de la variedad $M$, su métrica y sus derivadas.

Es un resultado conocido que el primer coeficiente $a_0$ es un múltiplo de la curvatura escalar de la variedad, y en nuestro caso, estamos interesados en que esta sea $0$, por lo tanto para que la superficie sea plana, debemos tener que para tiempos pequeños ($t\sim 0$)

$K(t,x,x)\sim a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$

por otra parte, si la curvatura escalar no es cero, se tiene que la expansión del kernel es

$K(t,x,x)\sim a_0(x)t^{-1}+a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$

cuyo término predominante a pequeños tiempos es $a_0$, el cual hace que la propagación del calor sea más rápida, del orden de $t^{-1}$.

Una consecuencia curiosa de este análisis es el hecho que el hecho de que una superficie sea plana o no depende de la rapidez del flujo de calor, en otras palabras, el que una superficie sea plana, no es solamente una propiedad de las dimensiones espaciales de dicho objeto, sino que también de la dimensión temporal en la que está inmerso.

Este hecho da indicios de una relación más intima entre las dimensiones espaciales y temporales, y que al final de cuentas, no están tan desligadas unas de otras.

Polygons and vertex orbits

2010-05-22T16:06:00.000-07:00

Last Christmas, I went with my family to a road trip. I drove from Waco to New Orleans, a 8 hrs drive more or less, and when we reached there, I was a little tired. I laid down in the bed and stared at the roof of our room, and then, I started imaging a rubber ball bouncing all over a vertical cross section of our room, like a billiards ball, and then I wondered which kind of orbits could be ball have, depending of the incident angle of the first bounce.

After thinking a little, one can realize that for a rectangular cross section (my room's) this problem is not really hard, and the possible answers are quite few, depending on the ratio of the lengths of the rectangle. Then I though that a more interesting question would be when the cross section its a circle.

Basically two thing can happen, one is that the incident angle is such that the ball bounces only in finitely many places, and hence, the bouncing points make a periodic sequence on the circumference, and the other is that the bouncing points are dense in the circumference.

For instance, if the initial angle happens to be $\pi/2$, we are going to have only 2 bouncing points. Suppose that we have an initial angle $a$ and we are working with a unit circle, so that the arc length is the same as the angle value. If we look look up for periodic points, we require that $na=m\pi$, for some $n,m\in\mathbb{Z}^+$. That means that $a= \frac{m}{n}\pi$, and with out loss of generality, we can require $m/n \leq 1$. Then, one can draw the path of the ball as follows:

Step 1: Start drawing the path at vertex $k=1$
Step 2: Draw a line from the vertex $k$ to the vertex $k+m$ (sums are taken modulo $n$)
Step 3: Go to step 2 until you hit vertex 1

For instance, in the case $n=5$, we will have two different patterns

The orange path is obtained for $m=1$ and $m=4$, and the black one, for $m=2$ and $m=3$. In general, $m$ and $n-m$ will lead to the same orbit, but made in different directions (clockwise and counterclockwise).

So in the remaining case, when $a$ is not a rational multiple of $\pi$, we have that the bouncing points are dense in the circumference.

This result is not surprising, as this picture is related with the problem of wrapping a line around a torus, and it is well know that this wrapping is dense if it has an irrational slope, and periodic otherwise.

When glazed in this perspective, it turns out that the original problem, with the rectangle, and the one with the circle are exactly the same, since a torus is just the complex plane modulo a rectangle ( a lattice ), so at the end, my more interesting problem turned out to be as simple as the original one. It is quite interesting how apparently different problems became just two perspectives of the same phenomenon, one could seem totally boring and the other one, completely attractive and challenging. Some would say, beauty is in the eye of the beholder, but sometimes what happens is that differences are in the eye of the beholder.

Representación integral de la función máximo entero

2010-04-18T19:37:00.000-07:00

Hace un par de semanas fui a un congreso/seminario sobre aplicaciones de la matemática en la industria y el impacto de minorias en estados unidos en la ciencia. Principalmente se habló sobre oportunidades de trabajo y aplicaciones de distintas áreas de la matemática en problemas actuales, como control en cambio climático, modelación de epidemias, etc. La verdad, no fue muy matemático que digamos puesto que fue más orientado a opciones de comenzar una carrera en la industria y no en la academia, sin embargo, hubo una charla muy interesante sobre funciones zeta, teoría de la representación y matrices aleatorias que capturó mi atención.

Durante su charla, el expositor tocó brevemente el tema de la hipótesis de Riemann, y para darnos la idea de la dificultad del problema, ofreció un premio de $100 si alguien era capaz de demostrar que el primer cero de la función zeta de Riemann tenía parte real igual a 1/2.

Como todo buen estudiante de postgrado y en permanente carecia de fondos, me llamó la atención el intentar este problema. El tiempo era limitado, puesto que al día siguiente se terminaba el congreso, así que durante el resto de las charlas me dedique a tratar de resolver el problema.

En la tarde, fuí a hablarle al conferencista para mostrarle mis avances y las ideas que llevaba, a lo cual no prestó mucha atención en el momento, así que decidí seguir intentando un poco mas en la noche. Al día siguiente fui a consultarle nuevamente, y esta vez me dijo que iba en buen camino, pero que no se recordaba muy bien de como iba la prueba, él mismo lo habia intentado hacía unos 15 años. Al final de cuentas, no logré probarlo, para alivió economico de él y frustración mia, sin embargo, me llevó a descurbir un par de cosas interesantes.

Estaba jugando un poco con representaciones integrales de la función zeta de Riemann, y se me ocurrió probar el viejo truco de utilizar el argumento principal de Cauchy. Definí una función $F$ que me permitía, por medio de una integral de contorno, contar el número de ceros de la función zeta en un rectángulo de altura variable $\sigma$, y puesto que la gráfica $F$ es una gráfica en escalera, intenté hacer algo similar con la función máximo entero.

La idea es trabajar con una función que se anule en todos los enteros, y un buen ejemplo de eso es $f(s)=\frac{1}{\pi}\cot(\pi s)$.

Además, recordando que el argumento principal de Cauchy establece que

$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma F(s)ds=\sum_z Res (F(s))_{s=z}$

donde la suma corre sobre los polos de $F$ encerrados dentro de la curva $\gamma$.

Con estas dos cosas, tenemos que

$\frac{1}{2i}\int_\gamma \frac{1}{\cot (\pi s)}ds=\sum_z Res(F(s))_{s=z}$

si hacemos una curva que contenga a todos los enteros positivos, tenemos una representación para la función maximo entero, así que podemos definir $\gamma$ como el rectángulo con vértices opuestos $(\sigma, \epsilon)$ y $(1/2, -\epsilon)$, donde el contorno se toma en la dirección antihoraria.

Por lo tanto, podemos definir

$M(\sigma)=\frac{1}{2i}\int_{\gamma_\sigma}\frac{1}{\cot(\pi s)}ds$

Esta función suma los residuos de la funcion $F(s)=\frac{\pi}{\cot(\pi s)}$ en cada entero entre 1/2 y $\sigma$. No es dificil de probar que el residuo de $F(s)$ en $s=n\in\mathbb{Z}^+$ es 1, así que

$M(\sigma)=\sum_{n=1}^{[\sigma]} 1=[\sigma]$

Siguiendo esta idea, tambien es posible hallar una representación integral para la suma de los primeros $[\sigma]$ positivos

$\frac{1}{2i}\int_{\gamma_\sigma}\frac{s}{\cot(\pi s)}ds=\sum_z Res\left(\frac{\pi s}{\cot(\pi s)}\right)_{s=z}$

$=\sum_{n=1}^{[\sigma]}n=\frac{[\sigma]([\sigma]+1)}{2}$

En forma general, la representación integral de la suma de las primeras $[\sigma]$ $k$-potencias de positivos está dada por

$\sum_{n=1}^{[\sigma]} n^k=\frac{1}{2i}\int_{\gamma_{\sigma}}\frac{s^k}{\cot(\pi s)}ds$

para toda $\sigma>1/2$ y todo $k\in\mathbb{C}$.

Esta es una bonita conección entre funciones número teóricas y análisis, muchas veces el contar con una representación analítica resulta muy conveniente al estudiar matemáticas discretas.

The game of life

2010-03-29T19:08:00.000-07:00

A couple of weeks ago, I was reading some lecture notes on game theory and I came across a really neat game.

After discussing the very basics of game theory and decision making theory, the author of the lectures gives an exercise which I found really interesting and enjoyable, at the point that I went ahead and gave it as a quiz to my business calculus class.

To my surprise, most of my class got the right answer, which was truly a grateful feeling. The game is really simple so anybody can understand it, but in my opinion, it represents many aspects of real life.

It is as follows:

Every student is to write down a real $x_i$ number in between 0 and 10 inclusively. After doing so, one computes the mean $\bar{x}$ of all of the students' bets and each student's grade is given by

$10-\left|x_i-\frac{2}{3}\bar{x}\right|$

This might look a really simple task, and by no means a game at all, but it is a game of strategy and common sense.

Our desire as a students is to maximize our grade, but that depends on the average choice of the class, which might complicate a bit the analysis of a best strategy to pick our $x_i$.

It is not hard to see that a global best strategy is to pick $x_i=0$, as if everybody is a good and logical player, having all bets equal to $0$ would give each student's grade to be $10$, which is the best possible.

So, our personal best strategy should be to pick $0$, but in real life, not all players are good thinkers or really logical, so at the end of the day, our best strategy won't give us the best out come possible.

In a sense, we can think of this game as rewarding you if you somehow think average, and most of the times, the average thinking is not precisely the most wise and logical.

By the way the game was set up, we can see that it neither rewards the average thinking as much as someone that was 2/3 away from it. If you are 2/3 away from the average, you'll get full credit, and this is somehow what happens in real life. Usually not the average people get the best outcome nor the people that plays the best, but people that are in between.

This gives a really good example that in most occasions, your outcome does not depend only on your own strategy, but also in someone else's strategy, and that making the best decisions and taking the best choices does not guarantee your success.

La traza como optimizador de volumenes

2010-03-21T17:57:00.000-07:00

La semana pasada durante el descanzo de inicio de primavera, pase una semana en guate y gracias a la invitación de un par de amigos, tuve la oportunidad de hablar un poco de las locuras que intento hacer en mi investigación.

Hablé sobre funciones zeta y pistones semitransparentes y mientras preparaba el contenido de lo que iba a decir, estuve buscando un poco sobre interpretaciones más naturales de las funciones zeta. Es bien sabida la interpretación de las funciones zeta como traza de operadores de kernel de calor, así que me surgió la curiosidad de buscar alguna interpretación geometrica de la traza de un operador.

En el caso finito dimensional, los operadores con los que trabajamos son matrices hermitianas, aunque este punto de vista es valido para cualquier tipo de matriz.

Para esto, consideremos el grupo de matrices $GL(n)$ de determinante no nulo de $n\times n$. Sea $P\in GL(n)$, hay varias formas de definir la función exponencial en $GL(n)$, una de ellas es por medio de la serie usual

$\exp(P)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}P^k$

la cual converge para toda $P$.

Una forma indirecta de definirla, es por medio de ver a la matriz $P$ en forma canonica diagonal, $P=SDS^{-1}$ donde $D$ está dada por

$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \ddots& \\& & &\lambda_n\end{pmatrix}$

donde $\lambda_i$ son los valores propios de $P$. Entonces

$\exp(P)=S\begin{pmatrix}e^{\lambda_1} & & &\\ &e^{\lambda_2} & &\\ & & \ddots& \\& & &e^{\lambda_n}\end{pmatrix}S^{-1}$

Utilizando estas definiciones, no es dificil ver que la función exponencial cumple con

$det(\exp(P))=\exp(Tr(P))$

Por otra parte, se puede ver a $GL(n)$ como un subconjunto abierto de $\mathbb{C}^{n^2}$, y por lo tanto se puede realizar calculo en dicho grupo. La noción de $dP$ puede interpretarse como un diferencial total en $\mathbb{C}^{n^2}$. Así, es posible hablar de cálculo diferencial e integral en $GL(n)$. Esto no es más que cálculo en la variedad diferencial $GL(n)$.

Sea $P_0\in GL(n)$ una matriz cerca de $P$, y defínase

$\log(P)=\int_{P_0}^P P^{-1}dP$

donde la integral puede definirse por medio de una integral de linea, parametrizando un camino en $GL(n)$ desde $P_0$ hasta $P$.

Sea $Q=\exp(P)$, y sea $Q_t:[t_0,T]\to GL(n)$ la parametrización de una curva desde $Q_0=\exp(P_0)$ hasta $Q=\exp(P)$. Por lo tanto,

$det(Q)=\exp(Tr(\log(Q)))$,

$\log(det(Q))=Tr\left(\int_{t_0}^TQ_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$

y tenemos que

$\int_{t_0}^T det(Q_t)^{-1}\frac{d\, det(Q_t)}{dt}dt=\int_{t_0}^T Tr\left(Q_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$

por lo que las 1-formas son iguales

$det(Q)^{-1}d\, det(Q)=Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$

en otras palabras, tenemos que

$d\, det(Q)=det(Q) Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$

Esta identidad resulta ser muy útil y encierra mucha información geometrica sobre las matrices. Como es conocido, la interpretación del determinante de una matriz de $n\times n$ es el volumen (con signo) del paralelepípedo en $n$ dimensiones generado por los $n$ vectores columna de la matriz, así que por medio de la ecuación anterior, podemos decir que la traza de una matriz de aluna forma nos está dando la razón de cambio del volumen generado por los vectores columna.

Este resultado me pareció de gran interés, puesto que en el caso finito dimensional, relaciona funciones matriciales un tanto extrañas en naturaleza, pero comunmente utilizadas, con nociones geométricas muy fácilmente comprensibles.

Como todo en la vida, creo que esta conección a nivel de dimensión finita, tiene una contrapartida en el caso general, sin embargo aún estoy pensando como formalizar este concepto, pero creo que la idea general es tratar de establecer una relación entre la variación de la curvatura de un espacio y el determinante y traza de cierto tipo de operadores lineales. En cierto modo, esto tiene relación con flujos de Ricci y como evoluciona el volumen de una variedad através del tiempo. La conección natural parece ser, de nuevo, el teorema espectral para operadores lineales autoadjuntos y posiblemente compactos.

Orbit-Stabilizer and Covering Maps

2010-02-16T15:37:00.000-08:00

Last week, in our quantum Mechanics class, we were going over symplectic spaces and symplectic transformations. A symplectic space is just a manifold together with a skew-symmetric non-degenerate bilinear form $J$ defined on it, and a symplectic transformation $S$ is a transformation of the manifold into itself such that it preserves $J$. One of the most common examples is when we take our manifold to be $M=\mathbb{F}^{2n}$ and the symplectic form

$J=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}$

where $F$ is a field and $I_n$ is the identity matrix. This is a symplectic manifold, and the set of symplectic transformations is know as $Sp(n,F)$. This is a well known Lie Group acting by multiplication on $M$, and one of its goodness is that this action is transitive, that is, for any non-zero $x,y\in M$, there is $S\in Sp(n,F)$ such that $y=Sx$.

This statement was actually part of our homework, to prove that the action is transitive, and I wanted to find a nicer way to prove it and not to do a proof that I had seen before in my previous courses, so I started thinking a bit of many different ways of saying that this action was transitive.

One way of seen this is by turning around the problem saying what would happen if we let $S$ to run over $Sp(n,F)$ and look at $Sx$ for $x$ fixed? Well, that is saying something like the orbit of $x$ is $M/\{0\}$ and that started to sound a bit familiar.

I was trying then to use some kind of orbit-stabilizer theorem and then use some cardinality argument and kill the problem. Although, I only did remember the finite version of this powerful theorem, which obviously, wouldn't help me at all, but in essence, that was what I was looking for. A cardinality argument would not help me in this situation, because I could have some proper subspace of the same cardinality of $M$ and this wouldn't lead me to the conclusion I was going after. Instead, a dimensionality argument was needed.

While searching for this and thinking what actually was going on behind the scenes in this group action, I saw how helpful is the notion of representation for understanding a strange object.

If $G$ is a Lie Group, we call a representation of it, a vector space $V$ in which $G$ acts on. We can think as $G$ be some sort of subgroup of $Gl(V)$, the set of linear transformations of $V$ into itself. For an element $x$ of $V$, we can talk about the $G$ orbit through $x$, $O_x$ as the set of all $g.x$ for $g\in G$. In some sense, $O_x$ is a copy of the shape of $G$. Also, from the geometrical point of view, a Lie Group is a manifold, endowed with superpowers (group structure) and hence, we can think of these orbits into $V$ as coordinate maps of $G$ given by $\phi(g)=g.x$, so really $O_x$ is how $G$ looks locally.

For example, take $O(2)$, which is the group of all $2\times 2$ matrices $O$ such that $OO^T=I$. This group is quite odd to picture, since it is a 1 dimensional manifold living in a 4 dimensional space, but by means of orbits, one can have a pretty good idea of how this group looks like. By picking a nonzero vector $x$ and looking at its orbit in $\mathbb{R}^2$, one can find that $O(2)$ looks locally like a circle.

In the general case, one can think as $G$ being a covering for $O_x$ and the degree of the cover is the number of connected components of $G$, for instance, in the above case, $O(2)$ has 2 connected components, the set of matrices with determinant equal to 1 and those of determinant equal to -1, and that fact is reflected in $O_x$ as the vector $g.x$ rotates counter clockwise for $O(2)_e$ (the identity component) and rotates clockwise in the other component, so each circle is drawn twice, and that means that $O(2)$ is a 2-fold cover for each $O_x$.

In this language, we can say that the stabilizer $G_X$ of an element $x$, is the fiber $\phi^{-1}(x)$ whose cardinality gives us the degree of the covering map.

Actually, from this point of view, $\phi$ defines a quotient map, which is very suitable for an orbit-stabilizer type argument. Since the stabilizer $G_x$ is a normal subgroup, one can think of $G$ as a principal $G_x$-bundle as $G/G_x\times G_x$ and making the identification $G/G_x\sim O_x$ and $G_x\sim \phi^{-1}(x)$ we have that $G\sim O_x\times\phi^{-1}(x)$.

Going away from counting arguments and going more into dimensionality, I found the so called Orbit-Stabilizer Theorem for Lie Groups which have the same feeling as the covering map approach. It states that

$dim(G)=dim(O_x)+dim(G_s)$

where $dim$ is regarded as manifolds.

In the $O(2)$ case, we have that $dim(G)=1$, $dim(O_x)=1$ and $dim(G_x)=0$ as any of the other cases when $G_x$ is a finite group, and hence, we have that $\phi$ is a quotient map and $dim(G)=dim(O_x)$ as expected from a covering map.

At the end, I didn't use any of these arguments for my proof, but I found quite enjoyable doing this diversion from my first thought.

Tempo Musical y Espacios de Hilbert

2010-02-07T20:49:00.000-08:00

Hoy durante el recital de piano de mi amigo Alfredo notaba algo extraño que desde mucho tiempo me ha acosado pero nunca habia puesto tiempo en analizar detenidamente, y es la increible capacidad que tiene el cerebro humano de comprender la música.

Notaba como de forma natural, lograba identificar el tempo en el que mi amigo interpretaba el piano, es decir, llevar el tiempo de la canción con mi pié, o como decimos coloquialmente, llevaba el ritmo.

Esto puede sonar una tarea muy sencilla de identificar, puesto que una forma tentadora de hacerlo es simplemente seguir el tiempo de las notas consecutivas, sin embargo, de esta forma se tendría un tempo errático, no regular en el tiempo. Parecería entonces que es cuestión de hallar un máximo común divisor entre estas separaciones de notas, pero de nuevo, esto no resuelve el problema de manera eficaz, pues en la mayoría de casos, se obtienen valores muy altos de bpm (beats per minute). Un valor típico de tempo esta cerca de los 120 bpm o 2 notas por segundo.

Luego de estos pequeños inconvenientes, me puse a pensar un poco en otro que es un poco mas sutíl, y es que si una canción está en un tempo $\tau$, matemáticamente es correcto tambien clasificarla con un tempo de $2^n\tau$, con $n\in\mathbb{Z}$, sin embargo, solamente una de estas opciones suena acorde en el cerebro.

Una cosa interesante es el factor de una potencia de 2 en los tempos equivalentes, aunque resulte muy natural dividir en 2 o duplicar el tempo, ¿porqué 2 y no otro número? ¿digamos 3?, ¿5?, ¿$\pi$? La respuesta quizás ya la haya abordado anteriormente, solo que en otra escala de tiempo. Si una nota suena igual una octava abajo o una octava arriba, naturalmente un tempo sonará bien si se duplica o se divide por la mitad. Ahora la pregunta es ¿cómo sabe nuestro oído cual es el factor correcto?

Una idea para abordar esta incógnita es representar una canción $\phi(t)$ por un vector en el espacio $M=\otimes_{\alpha\in\mathbb{R}}\mathbb{R}v_\alpha$, donde $v_\alpha$ es un vector de la base. Es importane notar que por definición diremos que los $v_\alpha$ son linealmente independientes, sin embargo podemos interpretar a $v_\alpha$ como $e^{\alpha t}$, es decir, los $v_\alpha$ viven en diferentes espacios de factores. Con esto tenemos que

$\phi(t)=\sum_{\alpha\in\mathbb{R}} c_\alpha(t)v_\alpha$

donde la suma es una serie formal y los $c_\alpha(t)$ no son otra cosa que los coeficientes de fourier de $\phi(t)$.

Como el tempo lo determina la cantidad de notas que se ejecuten, podríamos decir que está relacionado con las variaciones en la amplitud de los sonidos (prescencia o ausencia), en otras palabras, se podría analizar el comportamiento de $d\phi(t)$ en $M$, es decir

$d\phi (t)=\sum_{\alpha\in\mathbb{R}} d c_\alpha (t) v_{\alpha}$

esta fue la razón por la que resulta conveniente tomar los $v_\alpha$ como objetos abstractos, así al tomar la derivada no tenemos factores proporcionales a la frecuencia de cada armónica.

Ahora bien, la magnitud de este vector derivada puede darnos una idea de cuanto cambia el vector inicial $\phi$, por lo tanto podemos analizar en un intervalo de tiempo

$|d\phi(t)|^2=\int_a^b\int_{-\infty}^\infty|dc_\alpha(t)|d\alpha dt$

y tratar de relacionarlo de alguna manera con algo que nos mida el tempo en este intervalo. La integral interior converge puesto que dado que los coeficientes $c_\alpha$ son coeficientes de fourier, tenemos que $\phi$ es una función de potencia finita, es decir, una función en $L^2$ y por lo tanto $d\phi$ tambien sera de potencia finita.

El motivo de analizar el comportamiento de la señal en un intervalo es que el tempo de una canción es una cantidad que puede o no ser constante a lo largo de toda la canción, es muy frecuente que dependiendo del género musical, el tempo en efecto no sea un parámetro constante a lo largo de la canción, como es el caso del progresivo. Por lo tanto, podemos considerar el tempo como una propiedad semilocal y no una propiedad global, es decir, una propiedad que esta ligada a la longitud del intervalo sobre el cual se está analizando la canción. Para esto podemos analizar la senñal en un intervalo $[a,b]$, donde $(b-a)>>1/f_b$ donde $f_b$ es frecuencia de corte de bandabase de la canción, la cual está alrededor de los $8KHz$.

Una interpretación que podemos dar al tempo como el período de un tren de pulsos tal que al muestrear la canción original, es posible aún percibir el contenido de la canción. Con esto no me refiero a recuperar la señal original como en el caso del teorema de Nyquist, sino que a lograr identificar la melodia o el contenido musical de la canción.

Si denotamos por $\Delta_{\tau}(t)$ un tren de implusos unitarios con período $\tau$, la señal muestreada está dada por

$\Delta_{\tau}(t)*|d\phi(t)|^2.$

Podemos interpretar que el tempo es el valor ${\tau}$ que resuelve un problema de optimización actuando sobre la función anterior. El cerebro es un especialista en resolver problemas de optimización, como la visión bifocal de los ojos, que maximiza la cantidad de información obtenida por ambos ojos a la vez, o el sistema retroalimentado boca-oídos-ojos que minimiza el volumen de la voz necesario para transmitir un mensaje a otra persona. Por esta razón, suena a que este es otro problema en donde una optimización es llevada acabo.

Ahora bien, debido a la propia esctructura interna del oído, resulta más natural analizar esta función en el dominio de la frecuencia, ya que nuestros oídos son receptivos a los cambios en frecuencia y no a los cambios en el tiempo. Puesto que $|\phi'(t)|^2\in L^2(\mathbb{R})$, podemos estudiar su transformada de Fourier

$T(f)=\left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i n f \tau}\right)\widehat{|d\phi(t)|^2}$

Esta función es una función en $L^2$, por lo que podemos calcular su norma, la cual daría la cantidad de energía que posee, así que como lo establecimos antes, nuestro problema a minimizar puede ser el de encontrar $\tau_0\neq 0$ tal que

$\left. \frac{d ||T||_2}{d\tau}\right|_{\tau_0}=0$

en donde $\tau_0$ es un candidato al tempo de la canción. En la prática este problema de minimización puede ser resuelto solo mediante métodos numéricos, debido a los factores $e^\tau$ que se hallan en la función $\tau$. La verdad, no soy muy numero-analítico, asi que pequé de conformista y dejé el análisis hasta aca, pero sería una buena idea el tratar de implementar el algoritmo y analizar resultados experimentales.

Exponential Series

2010-01-25T11:31:00.000-08:00

This semester we started a course in Time Scales, which is an interesting generalization of the classic differential analysis. The idea of time scales is to provide a connection between the study of differential equations made on $\mathbb{R}$ and the study of difference equations on $\mathbb{Z}$.

This connection is made by taking a closed subset of $\mathbb{R}$ and start defining on it notions of a right and left derivatives, which are called the $\Delta$ and $\nabla$ derivatives.

On last week's class, one of my friends was talking about this definitions and also how would one define an integral using this time scales approach. As an example, he state the following integral

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$

On the time scale $\mathbb{T}=\overline{\{q^\mathbb{Z}\}}$ for some $q>1$. This is just the closure of the set of all integer powers of $q$.

After dealing with the boring algebra involved, the previous integral has a value of

$(q-1)\sum_{n=1}^\infty (q^n+q^{-n})e^{-n^2}$

Finding the actual value of this expression boils down to calculate the value of

$\sum_{n=1}^\infty e^{an-n^2}$

This can be done by using the Jacobi Theta Function, which is given by

$\vartheta(z,w)=\sum_{n=-\infty}^\infty \exp(2\pi i nz+\pi i n^2 w)$

for $z\in\mathbb{C}$ and $w\in\mathbb{H}$. Thus letting $z=\frac{-ai}{2\pi}$ and $w=\frac{i}{\pi}$ gives the value that we are looking for. In this case, we have that

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$
$=\frac{(q-1)}{2}(\vartheta(-ai/2\pi,i/\pi) +\vartheta(ai/2\pi,i/\pi) -2)$

This is a really simple problem at first sight, but it caught my attention the fact that it all relies on determining the value for an expression that looks like

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)}$

where $p(n)$ was a quadratic polynomial with a negative leading coefficient. A natural question came then to my mind, what would happen if we would have any polynomial instead?

My first idea was to study the case when $p(n)=-n^m$ for a fixed power $m$. The cases when $m=1,2$ are contained in the previous approach using the Jacobi Theta Function. I first try to calculate the series for some values of $m$, and I found that the above expression, as a function of $m$, converged really fast as $m$ was getting bigger.

Actually, it is not difficult to find out that this limit exists and has the value of

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^m}=\frac{1}{e}$

Following the same line, one can show that for $p(n)=-an^m$, with $a$ a constant, we have that

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-an^m}=\frac{1}{e^a}$

Thus, one could say that for a polynomial $p(n)=-an^m+O(n^{m-1})$ a good approximation its given by

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)} \approx\frac{1}{e^a}$

Looking for a different approach towards a more precise answer, one can define a function given by $f(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{p(n) t}$ and this function can be viewed as the heat kernel of a differential operator $P$ whose spectrum is given by $\sigma(P)=\{\lambda_n\}$, where $\lambda_n=p(n)$.

This could suggest the difficulty of such a closed form for $f(1)$, for instance, in the case of $p(n)=-n^m$, this would be related to the existence of an operator $P$ with eigenvalues $\{1/n\}$, which is one of the consequences of the Riemann Hypothesis.

Hausdorffización de un Espacio?

2010-01-11T14:00:00.000-08:00

El año pasado después de una plática sobre topología en la universidad, como cosa rara en un ambiente topologico, surgió una pequeña plática sobre espacios de Hausdorff. De dicha discusión, sirgió en mi la inquietud si de alguna forma pudiera medirse cuán Hausdorff es un espacio.

Un espacio topológico se dice Hausdorff si es posible separar puntos, es decir, si dados dos puntos distintos, se pueden hallar vecindades de cada punto disjuntas entre sí. Una definición más formal sería que dados dos puntos distintos $x,y$ de un espacio topológico $X$, existen abiertos $U,V\in \mathcal{T}$ tales que $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\emptyset$.

De cierto modo, dos puntos que fallan en cumplir esta propiedad están unidos, en el sentido que cualquier vecindad de uno intersecta a todas las vecindades del otro.

Siguiendo esta conceptualización, si tenemos que la propiedad de separación falla en dos puntos $x,y$, hablando de una manera informal podríamos decir que los puntos no pueden tener vecindades arbitrariamente pequeñas. Con esto en mente, se me ocurrió definir una función $\mathcal{W}:X\to \mathcal{P}(X)$ por $x\mapsto \bigcap_{V\in\mathcal{T}} U$.

La idea es hallar la menor vecindad alrededor de cada punto. Sin embargo, nótese que $\mathcal{W}_x$ no será necesariamente un conjunto abierto, de hecho, en el caso que se trate de un espacio Hausdorff, no es muy difícil de probar que dicha función $\mathcal{W}$ es simplemente $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y por lo tanto, si el espacio es $T_1$, se tiene que $\mathcal{W}_x$ es cerrado.

Posiblemente, esta función pueda ayudar a medir en cierto modo que tan Hausdorff es un espacio. Si un espacio es Hausdorff, se tiene que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y sería natural preguntar si esta condición es suficiente para ser Hausdorff, es decir, un espacio $X$ es Hausdorff si y solo sí $\forall x\in X$, $\mathcal{W}_x=\{x\}$.

Supongamos que $X$ es un espacio tal que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ para todo $x\in X$ y $X$ no es Hausdorff. Sean $x,y$ dos puntos distintos de $X$ tales que cualquier vecindad de $x$ intersecta a todas las vecindades de $y$.

Sea $\mathcal{B}_x$ una base local en $x$ y $\mathcal{B}_y$ una base local en $y$. Puesto que $U\cap V=\emptyset$ para todo $U\in\mathcal{B}_x$ y todo $V\in\mathcal{B}_y$, sea $l_{UV}\in U\cap V$. Utilizando el axioma de elección, defínase $L$ el conjunto de dichos $l_{UV}$. Por definición, se tiene que $x$ es un punto límite de $L$.

Supongamos que $X$ es segundo contable, de esta manera, es posible encontrar una sucesión $\{l_n\}$ en $L$ que converja a $x$. Por definición, para todo $n$, existe una vecindad $V$ de $y$ tal que $l_n\in V$, por lo tanto $l_n\in\overline{V}$ y entonces $x\in \cap_{y\in V\in \mathcal{T}} \overline{V}$ $=\overline{\cap_{y\in V\in \mathcal{T}} V}$ $=\overline{\{y\}}$. Si se supone además que $X$ es $T_1$, entonces $\overline{\{y\}}=\{y\}$, por lo que $x\in \{y\}$ y entonces $x=y$.

Al parecer, esta equivalencia es válida en el ámbito de $X$ ser $T_1$ y segundo contable, no se si puede ser generalizada esta noción, pero me pareció una forma interesante de traducir el concepto de Hausdorff en términos de la menor vecindad que contiene a un punto.

Line orbits on a circle

2010-01-04T18:22:00.000-08:00

After a little break time, I decided that a good way to start the year is by posting something that I was thinking on few days ago.

At the beginning of the Winter break, one of my friends back home post me a question about determining the foci a hyperbola just with compass and straightedge constructions. Thinking a little about it, I was trying to find some basic property of the foci of a hyperbola, and it came to my mind that they must have the same property no matter what kind of conic we are looking at, since all conics are equivalent under the $PSL(2,\mathbb{R})$ group.

So I tried to find some kind of property that the foci of all conics share, and one of them can be regarded as some kind of reflection property.

If you have a set of lines that passes through one of the foci of a conic and you take the reflection of these lines on the conic, the resulting set of lines passes through the other focus.

In the case of a circle, the two foci coincide in the center of the circle, so the condition holds, but this made me think of analyzing the orbit of a line in a circle. By this, what I mean is the following: start with a line that intersects the circle, then at the intersection points, reflect the line through the circle and keep with this process. Call the resulting intersection points on the circle, the orbit of the line. Now, a very natural question would be for which kind of lines does this orbit is finite? has a limit point? is dense in the circumference?

At the beginning, the answer seems really straightforward, one could say that the lines that lead to finite orbits are the ones that belong to sides of a regular polygon, which means that the lines leading to finite orbits are the ones whose distance to the center of the circle equals the apothem of some regular polygon inscribed in the circle.

However, this condition is quite weak, since there are more such lines. To look at these, we can take a different approach. One easy way is to look this is by taking the arc length instead. If we take the length of the circumference to be 1, then if the arc lengths of the pieces into which is divided the circle by the line are rationals, we have that the orbit is finite. Moreover, if the arc length is $q/p$, the orbit has length $p$.

This is equivalent to studying the circle regarded as $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, and here the orbit for a value $x$ is the set $\{[nx]: n\in\mathbb{Z}\}$ from where we have that it is finite iff $x\in\mathbb{Q}$ and it is dense in the circle otherwise.

Another interesting question would be to find sufficient conditions for finite orbits on a general conic, and this might be studied using the group structure of the circle $S^1$ and the projective properties of $PSL(2,\mathbb{R})$.

Curvas Elipticas y Espacios Proyectivos

2009-11-07T12:38:00.001-08:00

Hace poco tiempo con mi amigo Javier Ronquillo comenzamos a estudiar curvas elípticas con un libro muy interesante que se enfoca en describir los puntos racionales que una curva elíptica puede tener. Una curva elíptica se puede definir en general sobre cualquier anillo $R$ como el conjunto de soluciones en $R$ de la ecuación

$p(x,y)=Ax^3+By^2+Cxy+Dx^2+Ex+Fy+G=0$

donde las constantes $A,B,C,D,E,F,G\in R$. Propiedades interesantes surgen cuando se dota de una operación binaria a este conjunto. Resulta que una curva elíptica $C(p,R)$ puede convertirse en un grupo abeliano de acuerdo con las siguientes reglas:

Se fija un punto $O\in C(p,R)$
Si $P,Q\in C(p,R)$, se denota por $P*Q$ el tercer punto de intersección de la recta que pasa por $P,Q$ con la curva elíptica $C(p,R)$
Se define $P+Q=O*(P*Q)$

La definición arriba descrita hace a $C(p,R)$ un grupo aditivo, y esto es gracias a la propiedad que si una recta pasa por dos puntos de $C(p,R)$, pasa por un tercero necesariamente, contando multiplicidades, así la recta tangente a un punto $P$ de $C(p,R)$ necesariamente pasa por otro punto de la curva, y solamente uno, por lo que nuestra definición de suma está bien definida.

Gracias a esta estructura de grupo que se le da a $C(,p,R)$, las curvas elípticas han cobrado gran auge en campos como teoría de codigos y criptografía.

Hace un mes aproximadamente, asistí a una charla dada por uno de mis profesores de algebra, Dr. David Arnold, y estaba hablando precisamente sobre curvas elípticas y su relación con números congruentes. En su charla definió de una manera distinta la suma en $C(p,R)$ y a primera vista no me pareció una forma equivalente a la que había aprendido unas semanas atrás, sin embargo, luego de pensar un poco me resultó bastante claro y conveniente esta extraña definición.

Definió una curva eliptica sobre $\mathbb{R}$ como las soluciones a

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$

y la suma de dos puntos $P,Q$ simplemente como la reflexión sobre el eje $X$ de $P*Q$.

La ventaja de esta definición es que el grupo no depende de la elección de $O$, sino que en este caso, el neutro aditivo es el punto en el infinito dado por $(\infty,\infty)$.

Despues de investigar un poco, me di cuenta que la definición usual de curvas elípticas y adición en ellas es esta que él habia dado, y que la que había aprendido yo era la rara, lo cual me hizo interesarme más en el asunto.

Una forma un poco simple de pensar en esta aparente ambigüedad de conceptos, es ver al segundo punto de vista como un caso particular del primero. Si tomamos $C(p,R)$ con un punto fijo $O$, podemos realizar una transformación puntual al infinito y mandar el punto $O$ al punto en el infinito y así obtener el segundo punto de vista.

Una transformación puntual es una transformación del plano en sí mismo que transforma lineas en lineas, así que, dado que nuestra definición primera de adición está en términos de rectas e intersecciones, la misma definición seguirá siendo válida luego de aplicar una transformación de este tipo.

En general, dichas transformaciones puntuales mapean un punto $P=(x,y)$ a un punto $\tilde{P}=(\tilde{x},\tilde{y})$ en donde las nuevas coordenadas están dadas por

$\tilde{x}= \frac{ax+by+c}{gx+hy+i}$

$\tilde{y}= \frac{dx+ey+f}{gx+hy+i}$

en donde se manda la recta $gx+hy+i$ al infinito.

Para ver las bondades de esta transformación, resulta adecuado reescribirla como

$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$

y las nuevas coordenadas del punto $\tilde{P}$ son $\tilde{x}=\frac{\bar{x}}{\bar{z}}$ y $\tilde{y}=\frac{\bar{y}}{\bar{z}}$.

Esta ultima descripción puede verse como una transformación lineal de $R^2$ en $R^3$, o bien, puede generalizarse como una transformación entre espacios proyectivos.

Si se tiene un punto $(x:y:z)\in\mathbb{P}^2(R)$, donde $\mathbb{P}^2(R)$ es el espacio 2-proyectivo de $R$, tenemos que dicha transformación se puede escribir como

$T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$

Como consecuencia de trabajar en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^2(R)$, debemos cambiar nuestro polinomio $p(x,y)$ que genera la curva elíptica por

$p(x:y:z)=Ax^3+By^2z+Cxyz+Dx^2z+Exz^2+Fyz^2+Gz^3$

Ahora nuestro objetivo es estudiar que pasa con dicha curva elíptica al aplicarle una transformación puntual como la anteriormente descrita. Para esto, podemos ver que tipo de condiciones se pueden imponer sobre la matriz $T$. Luego de analizar un poco la situación, se puede concluir que sin pérdida de generalidad $det(T)=1$, con lo que se tiene que el conjunto de todas las transformaciones puntuales de $\mathbb{P}^2(R)$ en sí mismo es el grupo lineal proyectivo $\text{PSL}(R,3)$ de matrices sobre $R$ con determinante igual a la identidad.

El único problema es que luego de aplicar una transformación $T\in\text{PSL}(R,3)$, puede darse el caso que una curva elíptica $C(p,R)$ no sea transformada en otra curva elíptica, sino que en algo más, es decir, el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ no es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$. Un ejemplo de conjuntos de curvas invariantes respecto de $\text{PSL}(R,3)$ son las cónicas, puesto que al aplicar una transformación puntual a una cónica el resultado es otra cónica.

Con esta idea en mente, es posible ampliar el concepto de curva elíptica de tal manera que sea invariante respecto de transformaciones puntuales.

Si definimos una curva elíptica en $\mathbb{P}^2(R)$ como el conjunto de ceros de un polinomio de la forma

$p(x:y:z)=\sum_{r+s+t=3}c_{r,s,t}x^ry^sz^t$

con $r,s,t\geq 0$ y $c_{r,s,t}\in R$, tenemos ahora que el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$, y con esta descripción es posible estudiar el comportamiento de curvas elípticas bajo transformaciones puntuales y ver que los cambios de coordenadas son funciones racionales de las coordenadas originales, y por ejemplo, $C(p,\mathbb{Q})$ es mapeado en otra curva elíptica luego de aplicar una transformación puntual. Más en general, para un $F$ es un campo, $C(p,F)$ es mapeado en otra curva elíptica sobre $F$ de manera isomorfa, por lo que propiedades como ordenes de elementos, generadores, número de subgrupos y demás permanecen invariantes luego de aplicar una transformación puntal.

On general derivatives

2009-10-31T23:19:00.000-07:00

Long time ago I remember one of my former professors back home talking about a way of generalize the order of derivatives to real and then complex numbers. At the moment I was maybe in introduction to analysis or so, and I only did understand the meaning of the $n$th derivative, or at least, I knew how to calculate them.

Then, I came to graduate school and people where talking about fractional calculus, which in some sense is a generalization for the usual derivatives, providing a way of calculating the $\frac{p}{q}$ derivative of a function.

The purpose is to calculate $\frac{d^\alpha}{dt^\alpha}f(x)$ for $\alpha\in\mathbb{R}^+,\mathbb{R},\mathbb{C}$.

I was thinking of some sort of an easy and non-elaborated way of generalizing this idea, and it came to my mind the spectral theorem. If we define an operator $T=\frac{d}{dx}$ to be the derivative operator for a space of functions $H$ to itself, one would like to calculate $T^\alpha$ of a function, and a nice way of solving this would be to use functional calculus by means of the spectral theorem, which would say that

$T^\alpha(f)(x)=\int_{\sigma(T)}\lambda^\alpha dE(\lambda)(f)(x)$

where $\sigma(T)$ is the spectrum of the operator $T$ and $E(\lambda)$ is a partition of unity. This would provide a quick and dirty way of accomplish our mission, but we have one problem: $T$ is not a bounded operator, and we cannot quite use this same result.

Anyhow, trying to go further with this first approach, one has some classical results when applying this idea.

It is well known that the eigenfunctions of $T$ are exponentials given by the solutions of

$Tf-\lambda f=0$

subject to some boundary/initial conditions. Suppose that we work in the space $H=L^2$ with the usual inner product and the condition for the eigenfunctions to be $f(0)=1$. Then this result is the same as taking the Fourier transform of the function and passing the derivative along the integration sign

$T^\alpha (f)(x)=\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(t) (2\pi i t)^\alpha e^{2\pi i xt}dt$

for $\alpha=0$ we have $T^0(f)(x)=f(x)$. When $\alpha=n\in\mathbb{N}$ we have the old result from Fourier analysis and in fact, we have that $T^n(f)(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)$.

Also, for negative integers $\alpha=-n\in\mathbb{Z}^-$, this realization for the generalized derivative agrees with the result od Fourier transforms, having that $T^{-n}(f)(x)=F^{(n)}(x)$, where $F^{(n)}(x)$ is the $n$th antiderivative of $f(x)$.

But this method is not so true, since as we pointed out before, $T$ is not bounded in $L^2$, so the idea is to use some kind of spectral theorem for symmetric unbounded operators. This can be done by finding a self adjoint extension of $T$ and apply the spectral theorem to it or equivalently, to use the symmetric unbounded version of this result to $T$.

By this means, one can calculate the derivative of any complex order $\alpha$ of (in general) any $L^2$ function.

Posible vs Probable

2009-10-15T13:30:00.000-07:00

Hace unos días discutí con mi amigo Andrés sobre el post de como calcular la probabilidad de obtener un triángulo al partir un palillo en 3 trocitos. Él me preguntaba que pasaría si decidiéramos imponer la restricción que el triángulo obtenido fuera equilátero o isóceles.

Obviamente, dichos casos son posibles, sin embargo al calcular la probabilidad de ocurrencia, esta es cero.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo equilátero, existe solamente una manera de obtener dicha configuración, esto es, cuando los 3 trocitos miden lo mismo. Sin embargo, el número total de posibilidades es infinita, por lo que podríamos decir que la probabilidad de obtener un triángulo equilátero es

$\frac{1}{\infty}=0$

Ahora bien, al calcular el número de triángulos isóceles que pueden ser obtenidos, este es infinito, sin embargo la probabilidad asociada sigue siendo cero. Este fenómeno puede ser explicado si utilizamos una interpretación geométrica de la probabilidad.

Así como vimos anteriormente la probabilidad se obtiene al dividir el área correspondiente a la región que representa los casos deseados sobre el área de los casos totales. En el caso de obtener un triángulo isóceles, el conjunto de casos favorables está dado por las tres rectas

$x=y \quad \cup\quad y=1-2x\quad \cup \quad 2y=1-x$

Puesto que este conjunto es unidimensional, su área es 0, y por lo tanto la probabilidad asociada a los triángulos isóceles es

$\frac{\text{area de las rectas}}{\text{area roja}}=\frac{0}{1/2}=0$

Esto quiere decir que dichos casos son posibles sin embargo no son probables. Pero ¿qué significa que algo sea posible pero no probable?

Matemáticamente, que algo sea posible significa que el conjunto de sucesos deseados en el espacio muestral sea no vacio. Por otra parte, que algo sea probable significa que la probabilidad asociada sea no nula. Resulta un poco dificil de convencerse al principio que esto pueda ocurrir, sin embargo al ver la probabilidad como la medida de un conjunto no suena tan artificial este concepto.

Si se tiene un conjunto $M$ una medida es una función que asigna a una familia de subconjuntos de $M$ un número real no negativo llamado medida. Por ejemplo, en la recta real, la medida mas usual es la de Lebesgue, la cual asigna a cada intervalo $[a,b]$ la medida $b-a$.

Este dilema se reduce a obtener subconjuntos no vacíos en $M$ cuya medida sea 0. El el caso de los reales, conjuntos discretos o conjuntos de cantor son buenos ejemplos de casos posibles mas no probables.

Luego de pensar un poco, no es difícil convencerse que si el espacio muestreal es un subconjunto con dimensión euclideana igual a $n$, cualquier conjunto no vacío con dimensión menor que $n$ será posible pero no probable, como el caso anterior, en el que el espacio muestreal tiene dimensión 2 (triángulo rojo) y el conjunto estudiado tiene dimensión menor, dimensión 1 para el caso de triángulos isóceles y dimensión 0 para el caso del equilátero.

Así, la unica manera de obtener probabilidad no nula es al comparar conjuntos de la misma dimensión, esto en el caso de espacios euclideanos, como fue el resultado en el caso anterior en donde comparamos la medida (área) de ambos conjuntos (triágulo rojo y triángulo azul)

Por lo tanto se puede tener algo posible pero no probable.

Elementary symmetric functions of the first natural numbers

2009-10-05T20:27:00.000-07:00

About a month ago, my good friends Esteban and José Carlos were working in a really interesting problem in number theory involving harmonic series of sequences of something that they called the Esteban primes for $p_0$.

They were (or are, I hope) trying to find out if a particular series involving this sequences of primes, converges or not. They told me about the problem, and as always, I got really interested by this strange problem relating primes and analysis.

After working out a little bit the series, one can show that it is equivalent to prove that some infinite product converges to a nonzero value. Working with these expressions, I ended up looking at polynomials of the form

$p(x)=\prod_{k=1}^n (p_k-x)$

where the $p_k$ are primes. So, at first, I tried to not work with primes directly, but with the natural numbers $1,2,3,\dots,n$ so the polynomial will be

$p(x)=\prod_{k=1}^n (k-x)$

Expanding out this polynomial gives, by Cardano equations,

$p(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k s_{n-k} x^{k}$

were the $s_k$ are the elementary functions for $1,2,3\dots,n$, that are given by the sum of all possible $k$ products of these numbers, so for instance, $s_n=n!$, $s_1=1+2+\dots+n$ and $s_0=1$.

Therefore, evaluating $p(1)$ we have that $p(1)=\sum_{k=0}^n (-1)^k s_{n-k}=0 $ and hence, the sum of the even elementary functions is equal to the sum of the odd ones.

For example, $n=3$ gives

$s_0=1$
$s_1=1+2+3=6$
$s_2=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11$
$s_3=1\cdot 2\cdot 3=6$

and the result is

$s_0+s_2=s_1+s_3=12$

This reminds me of the property of the Binomial coefficients and must be somehow related, because these count the number of subsets with cardinality $k$, that is, for each subset of size $k$, we correspond to it a 1, then we add this results and that is $\binom{n}{k}$, while for the symmetric functions, for each subset of size $k$, we correspond to it the product of its elements, and then add over all subsets, and that gives $s_k$.

In other words, let $S=\{1,2,3,\dots,n\}$ and let $f$ be a function defined on the subsets of $S$.

If $f(A)=1$, for all $A\subset S$, we have that

$\binom{n}{k}=\sum_{A\subset S, |A|=k}f(A)$

on the other hand, if we define $f(A)=\prod_{k\in A} k$, then

$s_k=\sum_{A\subset S, |A|=k}f(A)$

so both forms have the same structure. I don't know what is the underlying property of such $f$ functions, so that the sum of the evens equals the sum of the odd ones, but I find it really interesting.

Probabilidad de primos y la función mu de Möbius

2009-09-25T14:00:00.001-07:00

Hace un par de días me puse a jugar un poco con la distribución de primos y con algo que he denominado primos de orden k, y me topé con una interpretación probabilistica de un resultado que involucra la función $\mu$ de Möbius.

Nunca en realidad he llevado un curso formal sobre teoría analítica de números, ni nada parecido con teoría de números avanzada, por lo tanto no había analizado la posible motivación detrás de la definición de la función $\mu$.

Para un natural $n$, $\mu(n)$ se define como 0 si $n$ tiene un factor primo cuyo exponente es mayor que 1, y $(-1)^k$ si $n$ tiene $k$ factores primos diferentes. Por lo tanto esta función es diferente de 0 únicamente para los números libres de cuadrado, -1 si el número posee un número impar de factores, y 1 si posee un número par.

Al principio, esta definición suena muy artificial, sin embargo, desde un contexto diferente, se puede tener una concepción un tanto más natural.

Supongamos por un momento que tenemos un entero cualquiera y queremos calcular la probabilidad que este sea compuesto. Bueno, si conocemos explicitamente dicho número podemos responder esta pregunta deterministicamente, sin embargo, si escogemos un número al azar, podemos hablar de la probabilidad de que sea compuesto.

Bueno, si un número es compuesto, esto significa que es producto de primos, así que podemos calcular dicha probabilidad $P$ encontrando cuál es la probabilidad que sea un multiplo de 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Obviamente, la probabilidad que un número sea multiplo de 2 es $1/2$, puesto que la mitad de los numeros son pares, de igual manera, $1/3$ de los números son multiplos de 3 y así, la probabilidad de ser múltiplo de $p$ es $1/p$.

Por lo tanto, para calcular la probabilidad total, no es dificil convenserse que es necesario utilizar el principio de inclusión-exclusión para calcular la probabilidad de ser multiplo de algún primo, es decir, de ser compuesto.

Con esto, la probabilidad queda

$P=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots-\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{2\cdot 5}-\frac{1}{3\cdot 5}-\dots+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5}\dots$

Tratando de reescribir esta expresión, no es dificil concluir que esto se puede escribir como

$\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{n}$

en donde $a_n$ es 0 si $n$ tiene factores primos repetidos, $1$ si $n$ es elproducto de un número impar de primos y $-1$ si $n$ es el producto de un número par de primos, lo cual puede escribirse jústamente usando $\mu$ como $a_n=-\mu(n)$.

Por otro lado, como es bien sabido, la mayoría de números son compuestos, de hecho el Teorema de los Números Primos establece que la razón entre el número de primos menores que $x$ y $x$ tiende a 0, por lo que la probabilidad de ser compuesto (razón entre "el número de compuestos y todos los números") es 1, así que $P=1$. Con esto tenemos que

$\sum_{n=2}^\infty -\frac{\mu(n)}{n}=1$

y como $\mu(1)=1$, podemos decir que

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}=0$

Es facinante como es posible interpretar la función $\mu$ simplemente como el principio de inclusión-exclusión para los números primos, y por medio de este mismo argumento, se puede mostrar facilmente que

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}$

donde $\zeta(s)$ es la función Zeta de Riemann. Justamente, para $s=1$, la función Zeta posee un polo de orcden 1 y por lo tanto $\frac{1}{\zeta(1)}=0$.

De esta manera, la función $\mu$ surge de una forma un tanto más natural y, al menos para mí, deja de ser un ente muy raro y misterioso.

Atractors for the Differential Operator

2009-09-20T20:45:00.000-07:00

The other day, I was thinking about how you can find fixed points for some functions in an easy way, for example, for $f(t)=\cos(t)$, if you start with any initial point $t_0$ and iterate the function on it, you will reach a fixed point, i.e. $f^n(t_0)\to t_{fix}$ as $n\to \infty$ which is approximately $0.739085$.

Then I ask myself if you can mimic the same procedure for finding fixed points, and hence attractors when instead of treating numbers one uses functions. In this particular case, I picked the differential operator $T=\frac{d}{dt}$, so the idea was to study the behavior of $\{T^n(x_0)\}_{n=0}^\infty$ for $x_0$ a initial function.

For instance, looking for the fixed points of this operator is a rather easy task, since it is the same as solving the differential equation $\frac{d}{dt}f(t)=f(t)$, which has general solution given by $f(t)=Ae^t$.

This approach give us more than just the fixed points for this operator, but also tells us that the space of functions in which we are interested for this operator to act, is the space of smooth funtions, i.e functions which have infinite number of derivates. Then we can formalize our discussion as studying the dinamics of the differential operator $T:C^\infty\to C^\infty$.

The natural question would be what happens to a general function when iterate $T$ to it? Is it going to be atracter by one of the fixed points? Or is it going to be blown up to "infinity"?

For example, if our initial function $x_0$ is a polynomial with degree $n$, we have that $T^{n+1}x_0=0$, so all polynomials are in the basin of atraction of 0, that is, after aplying many finite times the operator $T$, every polynomials will get map to 0.

On the other hand, if we start with $x_0=\cos(t)$ or $x_0=\sin(t)$, we have that this leads to a periodic orbit, namely $T^2x_0=x_0$, so the sequence $\{T^nx_0\}$ does not converge, but rather stays in a cycle.

In general, for having a periodic orbit when starting at a function $x$, one has to have that $T^mx=x$ for some $m\in\mathbb{N}$. Solving the differential equation gives that $x=\sum_{k=0}^{m-1}A_k e^{\lambda_m^k t}$, where $\lambda_m$ is the primitive $m$-root of unity in the complex numbers, and $A_k$ are constants.

Here we looked at some examples where the sequence converges or stays in a cycle, but it can also happen that the sequence diverges, for instance if we let $x_0=e^{cx}$, with $c\neq 1$, we will have that $\{T^nx_0\}$ diverges.

Now, if we try to analyze what the behaviour would be for a general smooth $x_0$ function, in order to stablish wheter the orbit of $x_0$ is attracted to a fixed point, it is periodic or it diverges, we need te notion of a distance in between functions or a norm. $C^\infty$ is a vector space, since the linear combination of smooth functions is again a smooth function, but it lacks the structure of a Banach space, which is that there doesn't exist any norm such that the space is complete. This doesn't help too much in pursue of a simple way of finding these attractors like we did with real and complex numbers via a analityc function. So the idea of finding these orbits for $T$ requires a little bit of more effort.

Trying to fix this impediment, I found that $C^\infty$ has the structure of a Fréchet space, with is endowed not with a norm, but instead with a family of seminorms. This way we can talk about being close to a fixed point and the notion of being attracted to.

I'm still reading at this point what can be done to generate this sets that are being attracted or repeled by this fixed points, which would be somehow equivalent to the notion of a Julia and Fatou sets for $T$. The idea of finding these fractals of functions seems to me really interesting and I haden't tought of it until I was actually writing this post, so it was somehow related to the previous post just by chance and it wasn't made on purpouse.

Antenas Fractales

2009-09-16T19:38:00.000-07:00

Muchos de nosotros hemos oído las palabras antena y fractal en algunos lugares por separado, y apuesto a que pensamos que son cosas que no pudieran tener nada en común.

Por un lado, una antena es un dispositivo pasivo que se utiliza para radiar ondas electromagnéticas y así poder transmitir información o energía a través de largas distancias sin la necesidad de cables.

Por el otro lado, muchas veces asociamos la palabra fractal con descanzadores de pantalla, gráficas y obras de arte con patrones de espirales y picos, y los más conocedores en el tema saben que un fractal es un objeto matemático asociado con funciones de variable compleja y recurrencia.

¿Cómo es posible conectar estos dos conceptos? Bueno, la respuesta la poseen muchos en los bolsillos de sus pantalones en estos momentos: un celular.

Al estudiar sobre telecomunicaciones, uno aprende que es posible diseñar una antena para un tipo de señal moduladora dependiendo de la frecuencia de la misma. Así, generalmente para transmitir una onda que esta siendo modulada a una frecuencia $f$, la antena se diseña típicamente para que tenga una longitud de $\frac{c}{2f}$, donde $c$ es la velocidad de la luz ( o la velocidad de propagación de onda en un medio más general ). Así que la longitud de la antena está determinada por la frecuencia a la que se transmite, algo no muy difícil de creer, por esa razón vemos en las calles antenas grandes, generalmente con partes rojas y blancas, para las transmisiones de radio AM, y antenas pequeñas que parecen bocinas de computadora, para las transmisiones de celulares e internet.

En nuestros días, la gran mayoría de servicios de telefonía móvil utilizan un tipo de transmisión a base de SDH, que significa que no se transmite en una sola frecuencia, sino que se tiene un rango de frecuencias en el que se transmite, alrededor de unas 75 frecuencias diferentes. Entonces, según la forma tradicional de diseño de antenas, deberíamos tener unas 75 antenas en nuestros teléfonos móviles, sin embargo esto no sucede así, puesto que resultaría demasiado ineficiente.

Pero entonces ¿cómo solucionar el problema de recibir 75 frecuencias diferentes usando la misma antena? Bueno, los fractales saltan al rescate. Una de las propiedades que poseen los fractales, es que tienen patrones de autosimilitud, es decir, la forma básica del fractal se repite una y otra vez en diferentes escalas.

Por medio de un diseño fractal de antena como el anterior, es posible lograr recibir una frecuencia fundamental $f$, la mitad de esta $f/2$, las cuartas partes $f/4$ y $3f/4$ y las octavas partes $f/8$, $3f/8$, $5f/8$ y $7f/8$.

De esta manera es posible utilizar la autosimilitud para recibir ondas similares transmitidas en diferentes frecuencias fundamentales. El tipo de fractal utilizado depende de otros parámetros como tipo de modulación, rango de transmisión, tipo de transmisión, etc.

Roots of unity and quadratic residues modulo p

2009-09-10T16:17:00.000-07:00

Yesterday, I attended to a talk of Brian Conrey while his visit to Baylor, and among other things of his talk, I found this fact really interesting.

He was talking about prime numbers, their distribution and the connection with the Riemann Zeta function, in other words, some kind of connection with complex numbers.

He showed that when taking the unit circle and diving it into $p$ equal slices, one can enumerate each edge from 0 to $p-1$ and then take the quadratic residues modulo $p$ and the sum of the correspondent vectors has norm equal to $\sqrt{p}$.

Here is the picture for $p=5$. After doing this, I found out that, I didn't remember the fact way it was, since if we calculate this resultant vector, it has norm equal to 1.61803, which is not $\sqrt{5}$, so I tried to figure what the statement was. After a little of work, I found that I was not able to remember the statement at all, but I came with something that was pretty close to it, if instead of summing along the quadratic residues, we sum along the residues squared, we have the desired result, that is, instead of summing the 0,1,4 vectors, we sum $0^2,1^2,2^2,3^2,4^2$, that is $0,1,4,4,1$, we'll have that the norm of the resultant is in fact $\sqrt{5}$.

So I thought that maybe for the general case, if we add the vectors corresponding to squares of the residues, we would have the same result. For proving this, we can write the problem as follows:

Let $p$ be a prime, then $z=\sum_{k=0}^{p-1} e^{\frac{2 \pi i}{p}k^2}$ has norm $\sqrt{p}$.

The proof of this fact is quite simple. This is the same as $z\bar{z}=p$, so calculating that gives

$|z|^2=\left(\sum_{k=0}^{p-1} e^{\frac{2 \pi i}{p}k^2}\right)$ $\left(\sum_{k=0}^{p-1} e^{-\frac{2 \pi i}{p}k^2}\right) $ $=\sum_{n,m}^{p-1} e^{\frac{2 \pi i}{p}(n+m)(n-m)}$

Since $p$ is prime, we can rearrange terms, and write the previous expression as $\sum_{r=0}^{p-1}\sum_{s=0}^{p-1}\left(e^{\frac{2\pi i}{p}r}\right)^s$, which is just a bunch of geometric sums added up. Each sum is easily calculated for $r\neq 0$ as $\frac{\left(e^{\frac{2\pi i}{p}r}\right)^p-1}{e^{\frac{2\pi i}{p}r}-1}$ which is equal to 0 for $r\neq0$. When $r=0$, the sum is exactly $p$, so in the end, $z\bar{z}=p$.

Then after, I tried the same kind of result with a general natural number, and it seems to work also with the odd numbers, but with the evens the pattern is a little different. For some, the norm is the square root of twice the number and for others it is zero. It is a really interesting question what happens for the general case, in particular for the even numbers, since it seems to depend if the number is multiple of 4.

The reason why the previous procedure does not work in general is that for a composite number, the double summation cannot be rearranged as we did, because $\mathbb{Z}_n$ is not a multiplicative group and $k \mathbb{Z}_n\neq \mathbb{Z}_n$ for all non-zero $k\in\mathbb{Z}_n$.

Probabilidad de obtener un triángulo

2009-09-07T21:18:00.000-07:00

¿Quién al ir a un restaurante no ha hecho trocitos los palillos de dientes mientras espera la comida? A pesar que partir palillos en muchos pedazos suena una alternativa para matar el tiempo de espera, una pregunta un poco mas interesante es calcular la probabilidad que al quebrar dos veces el palillo, los 3 segmentos resultantes constituyan los lados de un triángulo.

A primera vista parece que esto siempre se puede hacer, sin embargo al probar unas cuantas veces, uno se da cuenta que pocas veces se logra constuir un triángulo con los pedazos.

Para lograr calcular exactamente cual es la probabilidad de que esto ocurra, podemos hacer un modelo de que es lo que pasa al quebrar un palillo dos veces,

Para tener que dichos pedazos logren formar un triángulo, debemos tener que las longitudes cumplan la desigualdad del tríangulo.

Si tenemos un triángulo con lados $a,b,c$, la desigualdad del triángulo dice que $a\leq b+c$ $b\leq c+a$ y $c\leq a+b$. Aún más, si se tienen 3 reales que satisfacen dichas desigualdades, es posible construir un triángulo cuyos lados seas dichos reales. Asi que si $x,y$ y $1-x-y$ satisfacen dichas desigualdades, tendremos que es posible construir un triángulo a partir de los pedazos.

Para lograr encontrar la probabilidad, primero debemos hallar el total de casos posibles, y para eso encontramos los posibles resultados al quebrar el palillo, es decir, la región donde $0\leq x$, $0\leq y$ y $0\leq 1-x-y$. Dicha región está dada por

Así que el área total del espacio muestral es $1/2$. Para calcular el total de casos favorables, debemos tener que se satisfagan las desigualdades del triángulo, es decir, $x\leq 1-x-y+y$, $y\leq 1-x-y+x$ y $1-x-y\leq x+y$, lo cual da la región

cuya área es $1/8$, por lo que la probabilidad de lograr construir un triángulo está dada por

$\frac{\text{casos en los que se forma un triangulo}}{\text{casos totales}}=\frac{1/8}{1/2}=1/4$
Así que en un 25% de los casos, es posible construir un triángulo con dichos pedazos, lo cual resulta ser mucho menos de lo esperado, asi que la proxima vez que vaya a un restaurante, intentelo al menos 4 veces.

Why a melody one octave higher feels the same?

2009-09-03T21:11:00.000-07:00

A couple of weeks ago, while a road trip to Pittsburgh with my good friend Antonio, one topic jumped to the conversation, and it was why do we feel like a melody played in different octaves is the same.

The answer was not so difficult to find: Because we are hearing the same fundamental frequencies and their harmonics, but that is the mathematical point of view and unless the ear is good with Fourier series, this answer is not so obvious.

In fact, it happens to be that the ear is a good mathematician, or at least designed by a great one.

First of all, what is an octave. When you rise or decrease a note by an octave, it means you are multiplying or dividing the frequency by 2, therefore, an octave higher of a central A note (440Hz) has a frequency of 880Hz, and an octave lower, 220Hz. So there is an easy way to know if two melodies are alike, if their ratio is a power of 2, they must be the same!

Now our good ear has a pretty concrete task, still a little uncertain how can it be achieved though. Well the answer lies within would a Dream Theater song say, if we look at the process of how hearing is made, we can go deeper into the inner ear or labyrinth and find our answers. Here, after a mechanical process of sound transmission, there are located two chambers, each filled by liquids of different electronegativity.

These two chambers are separated by a thin layer that has several valves that can allow the two fluid to be mixed. Each of these valves are opened by a thin filament that, when excited, opens the valve. When the liquids mix, this produce an impulse that triggers a neuron and sends the sound information to the brain.

Now, here magic happens, one of these chambers is connected to the mechanical system that transmits the incoming sound wave, and it produces a standing wave in this chamber. The little filaments are arranged in such a way that the smaller ones are in front and the bigger ones in the back of the chamber. All the detection work is done by these little filaments, that have lengths growing exponentially, and moreover, each one is twice or half as long as its neighbors.

Hence, for a fixed frequency, any octave of it would excite the same filaments inside our inner ear, and therefore the same neurons are triggered and that makes us feel like is the same sound or melody we played a different octave, just with a little different flavor.

Bloggeando con Latex

2009-09-01T23:40:00.000-07:00

Buenas noticias para los bloggeros, es posible postear $\LaTeX$ en la mayoría de los Blogs que nativamente no lo soportan. Simplemente es cuestión de añadir un JavaScript al Blog y voilà, $\LaTeX$ en la página.

Aca está el link para que lo vean

http://watchmath.com/vlog/?p=438